制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方

前項で述べたように，真の分数式は， テンプレート:制御と振動の数学/equation のような項の和であらわされた．ところで， テンプレート:制御と振動の数学/equation と変形できるから、真分数は、 テンプレート:制御と振動の数学/equation ような項の 1 次結合で表されることが分かる．これらの原像を求めることができれば，我々の問題は解けたことになるのである． ところで 第一移動定理 テンプレート:制御と振動の数学/equation を想い起こせば， テンプレート:制御と振動の数学/equation の原像が計算できればよい．第 1 のものの原像，および第 2, 第 3 のものの $n=1,2$ に対する原像はすでに分かっているから， テンプレート:制御と振動の数学/equation の原像が求まればよいことになる．もっともこれらの原像は形式的には， テンプレート:制御と振動の数学/equation および， テンプレート:制御と振動の数学/equation と知られているのであるが，この右辺の合成積を計算するのがやっかいである．その簡単な計算法が見つかればよい．

まず合成積の微分の公式， テンプレート:制御と振動の数学/equation を思い出そう．そうすれば テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．この結果は $f_n(0)=0$ は明らかであるから，対応 $s⊏\frac{d}{dt}$ からも直ちに出る．$n=2$ の場合にすでに用いた技法である．

さて，後で必要になるもう一つの公式を導いておこう．上述の記号を用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるが，これをもう一度微分する． テンプレート:制御と振動の数学/equation

よって次の結果を得る．

公式 1

$\mathrm{♢}$

さて，合成積の微分の公式は，通常の積の微分の構造： テンプレート:制御と振動の数学/equation を持っていない．同様な構造を持つものは，単に $t$ を掛けるという演算である．

補題 2.3 テンプレート:制御と振動の数学/equation

証明 テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation

$\mathrm{♢}$

合成積に対しては $t$ を掛けるという演算が微分の構造を持っているので，次のような計算ができる．

テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．とくに， テンプレート:制御と振動の数学/equation のときは， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．

なぜ合成積に対しては $t$ を掛けることが微分することを意味するのかは，Laplace 変換の像関数の世界で考えてみれば納得できるが，それは後ほど説明することにして，本題に入ろう．

公式 2

証明

(1) $\frac{d{f}_n}{dt}=\frac{t}{2(n-1)}{f}_{n-1}$ を示せばよい． テンプレート:制御と振動の数学/equation であったから， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これに式 (2.34) を考慮すれば， テンプレート:制御と振動の数学/equationを得る．

(2) 上の結果 (1) を二度用いると、 テンプレート:制御と振動の数学/equation となるが，これと式(2.33) の結果， テンプレート:制御と振動の数学/equation を等置すれば，求める結果を得る．

例54$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation から，$f_3(t)$ と $f_4(t)$ を計算すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる． $\mathrm{♢}$