制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化

§1

Heaviside の着想は大変優れたものであり，多くの正しい結果を導いた．しかしながら数学的に首肯しかねるところが多い．

テンプレート:制御と振動の数学/equation とかテンプレート:制御と振動の数学/equation と置くことには問題はない．しかし，

(1)

p

の関数（例えば

p + 1

)で割る

(2)

p

や

\frac{1}{p}

のべきで展開する

(3) 部分分数に分解する

などは $p$ が数であるならば差し支えないが，そうでない場合は極めて問題である．このような疑問もあって，彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという．しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある．そのことが，幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には，T. Bromwitch，K. W. Wagner，J. R. Carson などにより，正当化が試みられ，多くの応用を生み，これらは，G. Doetsch による Laplace 変換による厖大な著作^[1] としてまとめられている．

§2

さてその合理化の方法であるが，テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち，微分すれば $p$ 倍となり，積分すれば $\frac{1}{p}$ となる関数は手近なところに見出される．それは指数関数テンプレート:制御と振動の数学/equation である．ここに $p$ は実数または複素数である．この事実に留意して $x (t)$ に対する微分や積分を $e^{p t}$ に肩代わりさせることを試みよう．それは部分積分^[2]を通じて可能となる．すなわちテンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation とすると，部分積分はテンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation に変える技法であるから，まず

(a)

テンプレート:制御と振動の数学/equation とおくと，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここで，テンプレート:制御と振動の数学/equation となるならば^[3]，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．そこで今，テンプレート:制御と振動の数学/equation のような対応（積分変換）を考えると，式 (1.18) はテンプレート:制御と振動の数学/equation となる．

(b)

次に，テンプレート:制御と振動の数学/equation とおいて部分積分を考えると，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここでも，テンプレート:制御と振動の数学/equation となるならば，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．対応　式 (1.19) を考えれば，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る^[4]．式 (1.20) と (1.21) は我々が求めていた関係である^[5]．つまり，変換式 (1.19) によって $t$ の関数を $p$ の関数に変換すれば， $t$ の領域での微分や積分が， $p$ の領域では $p$ を乗除することに対応することが証明されたのである．ここでは $p$ は数であるから， $p$ に関する演算に係わるわだかまりは氷解するのである．このようにして，少なくとも，1930 年頃までには，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation なる関係式が見出だされ，演算子法の合理化が完成したのである．しかし現在では，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation が用いられている．この方が部分分数分解などを行う際の計算が楽になるのである．この式は，これより以前に Laplace (1749-1827) によって用いられていたので，式 (1.22) を Laplace 変換（Laplace 積分），式 (1.23) を Laplace の逆変換（Bromwich 積分, または Laplace 積分の反転公式）と呼んでいる．この対応を，テンプレート:制御と振動の数学/equation あるいは，テンプレート:制御と振動の数学/equation などと記す．この対応（変換）により，微分・積分が， $s$ の乗・除という代数演算に変換され，それに伴い微分方程式が代数方程式となる．そして，この原理によって，微分方程式を解くことができるのである．このような方法で，ある種の積分方程式や差分方程式を解くこともできる．このような考え方は，特に新奇なものではない．これと類似の演算技法はすでに経験済みである．対数をとることによって，掛け算を足し算に変えたあの技法を思い出せばよいのである．

↑ Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
↑ 部分積分を復習しておく．関数 $f (x), g (x)$ の積 $f (x) g (x)$ の $x$ による微分は
${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
ゆえに $f (x) g^{'} (x) = {f (x) g (x)}^{'} - f^{'} (x) g (x)$
両辺を $x$ で積分すると $\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$
↑ $| x (t) | < M e^{α t} (α$ は実数) ならば， $p > α$ のとき可能．このような $x (t)$ を指数位の関数という．
↑ $x (t) \mapsto \tilde{X} (p) = p \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$ ．したがって
$\int_{0}^{t} x (τ) d τ \mapsto p \int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{t} x (τ) d τ} e^{- p t} d t$ ．
$\int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{t} x (τ) d τ} e^{- p t} d t = \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$ であるから，
$\int_{0}^{t} x (τ) d τ \mapsto p \cdot \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t = \frac{1}{p} \cdot p \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$
ここで $\tilde{X} (p) = p \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$ だから
$\int_{0}^{t} x (τ) d τ \mapsto \frac{1}{p} \tilde{X} (p)$ ．
↑ さらに式(1.13) については， $e^{a t} \mapsto p \int_{0}^{\infty} e^{a t} e^{- p t} d t = p \int_{0}^{\infty} e^{(a - p) t} d t = \frac{p}{a - p} {[e^{(a - p) t}]}_{0}^{\infty} = \frac{p}{p - a}$ ．（ただし $p > a$ ）
また式 (1.14a) については， $p \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- p t} d t = \frac{n}{p} \cdot p \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- p t} d t$ および $p \int_{0}^{\infty} t^{0} e^{- p t} d t = 1$ より $t^{n} \mapsto \frac{n!}{p^{n}}$ ．
式(1.16)，(1.17)については，
$I_{1} = p \int_{0}^{\infty} \sin ω t e^{- p t} d t, I_{2} = p \int_{0}^{\infty} \cos ω t e^{- p t} d t$ と置くとき，
$I_{1} = ω \int_{0}^{\infty} \cos ω t e^{- p t} d t$ …①， $I_{2} = 1 - ω \int_{0}^{\infty} \sin ω t e^{- p t} d t$ …②
①②より $I_{1} = \frac{ω}{p} (1 - \frac{ω}{p} I_{1})$ ．
すなわち $\sin ω t \mapsto I_{1} = \frac{ω p}{p^{2} + ω^{2}}$
また $\cos ω t \mapsto I_{2} = 1 - \frac{ω}{p} I_{1} = \frac{p^{2}}{p^{2} + ω^{2}}$

[1] Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)

[2] 部分積分を復習しておく．関数 $f (x), g (x)$ の積 $f (x) g (x)$ の $x$ による微分は
${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
ゆえに $f (x) g^{'} (x) = {f (x) g (x)}^{'} - f^{'} (x) g (x)$
両辺を $x$ で積分すると $\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

[3] $| x (t) | < M e^{α t} (α$ は実数) ならば， $p > α$ のとき可能．このような $x (t)$ を指数位の関数という．

[4] $x (t) \mapsto \tilde{X} (p) = p \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$ ．したがって
$\int_{0}^{t} x (τ) d τ \mapsto p \int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{t} x (τ) d τ} e^{- p t} d t$ ．
$\int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{t} x (τ) d τ} e^{- p t} d t = \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$ であるから，
$\int_{0}^{t} x (τ) d τ \mapsto p \cdot \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t = \frac{1}{p} \cdot p \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$
ここで $\tilde{X} (p) = p \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- p t} d t$ だから
$\int_{0}^{t} x (τ) d τ \mapsto \frac{1}{p} \tilde{X} (p)$ ．

[5] さらに式(1.13) については， $e^{a t} \mapsto p \int_{0}^{\infty} e^{a t} e^{- p t} d t = p \int_{0}^{\infty} e^{(a - p) t} d t = \frac{p}{a - p} {[e^{(a - p) t}]}_{0}^{\infty} = \frac{p}{p - a}$ ．（ただし $p > a$ ）
また式 (1.14a) については， $p \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- p t} d t = \frac{n}{p} \cdot p \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- p t} d t$ および $p \int_{0}^{\infty} t^{0} e^{- p t} d t = 1$ より $t^{n} \mapsto \frac{n!}{p^{n}}$ ．
式(1.16)，(1.17)については，
$I_{1} = p \int_{0}^{\infty} \sin ω t e^{- p t} d t, I_{2} = p \int_{0}^{\infty} \cos ω t e^{- p t} d t$ と置くとき，
$I_{1} = ω \int_{0}^{\infty} \cos ω t e^{- p t} d t$ …①， $I_{2} = 1 - ω \int_{0}^{\infty} \sin ω t e^{- p t} d t$ …②
①②より $I_{1} = \frac{ω}{p} (1 - \frac{ω}{p} I_{1})$ ．
すなわち $\sin ω t \mapsto I_{1} = \frac{ω p}{p^{2} + ω^{2}}$
また $\cos ω t \mapsto I_{2} = 1 - \frac{ω}{p} I_{1} = \frac{p^{2}}{p^{2} + ω^{2}}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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