制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/dxdt=Ax の解

これで我々の所期の目的は達成された．しかし，念のため，テンプレート:制御と振動の数学/equation が，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解であることを確認しておこう．そのため若干の準備をする．

定理 5.3 (初期値定理）

証明

$♢$

この初期値定理を用いると，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation であることが分かる^[1]．この結果から次の事実を示すことができる．

[補題 5.1]

証明

$i = n - 1$ のときは， $p_{n} (s) = p (s)$ を念頭におけば式 (5.24) から，テンプレート:制御と振動の数学/equation $α_{n - 1} (0) = 1$ であったから，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．^[3]

$♢$

↑ $p_{i} (s)$ は定理5.2 のもの．
$p_{i} (s)$ はこれを定義する逐次多項式の定義から $s$ の最高次数は $i$ であり $s^{i}$ の係数は $1$ 。
↑ 式 (5.24) の両辺を $p (s)$ で割って移項を施す．

$\frac{p_{i + 1}}{p (s)} - \frac{a_{i + 1}}{p (s)} = s \frac{p_{i}}{p (s)}$
$α_{i} (0) = 0$ より
$\frac{p_{i + 1}}{p (s)} - \frac{a_{i + 1}}{p (s)} = s \frac{p_{i}}{p (s)} - α_{i} (0)$ …①
定理 5.2 系中の定義より，

$α_{i + 1} (t) ⊐ \frac{p_{i + 1} (s)}{p (s)}$
また $α_{0} ⊐ \frac{p_{0}}{p (s)} = \frac{1}{p (s)} ∵ p_{0} = 1$ より①の原像は，

$\frac{d}{d t} α_{i} = α_{i + 1} - a_{i + 1} α_{0}$
↑ 式 (5.24) より，
$p_{n} (s) = s p_{n - 1} (s) + a_{n}$
両辺を $p (s)$ で割って，
$\frac{p_{n} (s)}{p (s)} = s \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} + \frac{a_{n}}{p (s)}$
移項して

$- \frac{a_{n}}{p (s)} = s \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} - \frac{p_{n} (s)}{p (s)}$
$p_{n} (s) = p (s)$ であるから，

$- \frac{a_{n}}{p (s)} = s \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} - 1$ …②
式 (5.23) より

$α_{n - 1} (0) = 1$
よって，
$s \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} - 1 = s \frac{p_{n - 1} (s)}{p (s)} - α_{n - 1} (0) ⊏ \frac{d}{d t} α_{n - 1}$
また $α_{0} ⊐ \frac{p_{0}}{p (s)} = \frac{1}{p (s)} ∵ p_{0} = 1$ より②の原像は，

$\frac{d}{d t} α_{n - 1} = - a_{n} α_{0}$

以上の準備の下に，次の結論を得る．

[補題 5.2]

証明

$♢$

定理 5.4 テンプレート:制御と振動の数学/equation は，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解である^[1]．

証明

$♢$

例117 テンプレート:制御と振動の数学/equation のとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation したがって，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation よって，テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，以前の結果（元々の問題は例 104）と一致する．

$♢$

例118

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