制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/(sI-A)^-1の計算

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(sI−A)−1の計算は逆行列を求める普通の計算に従えばよいのであるが、次のように計算することができる． 以下，行列 A の行列式を |A| または det⁡A などで表すことにする．

式 (5.8) に見られる通り， (sI−A)−1 の各要素は共通の分母として， テンプレート:制御と振動の数学/equation を持つので，各要素は bs+cs2+1 の形をしている．そこで， テンプレート:制御と振動の数学/equation とおいて B,C を求めることを考えよう． まず s2+1 と sI−A とを両辺にかけると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．この両辺の係数を比較すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation これより C=A を得る．よって， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．この原像は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となって，式 (5.8) と一致する．

例112

例 105 に対して (sI−A)−1 を計算せよ．

解答例

A=(−13−24),sI−A=(s+1−32s−4),det⁡(sI−A)=s2−3s+2 であるから，

(sI−A)−1=Bs+Cs2−3s+2

とおいて両辺に左から (s2−3s+2)(sI−A) をかけると，

(s2−3s+2)I=(sI−A)Bs+(sI−A)C…①
s2 の項：I=B
s の項：−3I=−AB+C

B=I より −3I=−A+C∴C=A−3I

∴(sI−A)−1=Is+(A−3I)(s−1)(s−2)=2I−As−1+A−Is−2

なお，①の s0=1 の項を等置すると，

2I=−AC

C=A−3I より，2I=−A(A−3I)

∴A2−3A+2I=O…②

②は A に関する Cayley–Hamilton の定理を示している．

♢



例113

例 106 に対して (sI−A)−1 を計算せよ．

解答例

A=(αβ−βα),sI−A=(s−α−ββs−α),det⁡(sI−A)=(s−α)2+β2 であるから，

(sI−A)−1=Bs+C(s−α)2+β2

とおいて両辺に左から {(s−α)2+β2}(sI−A) をかけると，

(s2−2αs+α2+β2)I=(sI−A)Bs+(sI−A)C…①
s2 の項：I=B
s の項：−2αI=−AB+C

B=I より −2αI=−A+C∴C=A−2αI
∴(sI−A)−1=Is+(A−2αI)(s−α)2+β2=(s−α)I(s−α)2+β2+A−αI(s−α)2+β2
なお①の 1 の係数を比較して，

(α2+β2)I=−AC=−A(A−2αI)
∴A2−2αA+(α2+β2)I=O…②

②は A=(αβ−βα) に関する Cayley–Hamilton の定理を示している．

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