制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法

まず，複素係数の線形定常常微分方程式テンプレート:制御と振動の数学/equation を考える．ここに $a_{i} \in 𝐂$ とする．これを初期条件，テンプレート:制御と振動の数学/equation の下に Laplace 変換すると，実係数の場合と同様にして，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．ここに $p (s)$ は式 (4.11) に付随する特性多項式， $q (s)$ は $ξ_{i}$ で決まる高々 $n - 1$ 次の多項式である．

一般に，複素係数の多項式は，代数学の基本定理により，複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから，それを，テンプレート:制御と振動の数学/equation とすると，これに対応して，テンプレート:制御と振動の数学/equation と部分分数に展開できる．それゆえ，この原像は，テンプレート:制御と振動の数学/equation またはテンプレート:制御と振動の数学/equation と求まる．ここに $f_{i} (t)$ は $t$ の多項式で次数は高々 $l_{i} - 1$ ，係数は複素数である．

複素数値関数の微分に述べたように，テンプレート:制御と振動の数学/equation であるからテンプレート:制御と振動の数学/equation となり，式 (4.12) が式 (4.11) の解であることが分かる．解の一意性の証明も全く同じであるから，繰り返さない．また非同次方程式，テンプレート:制御と振動の数学/equation の解法も，全く同様である．なお，式 (4.11) の解の基本系は，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．実際，これらが 1 次独立となることは，前章の証明よりも，はるかに容易に示し得る．事実，補題 4.1 の系によれば，テンプレート:制御と振動の数学/equation は一次独立であるから，あとは，テンプレート:制御と振動の数学/equation の 1 次独立性だけを示せばよい．これは，テンプレート:制御と振動の数学/equation の 1 次独立性と同じであるから，明らかである．

微分方程式式 (4.11) の係数が実数の場合を，この章の立場から述べておく．特性方程式 $p (s)$ が 1 次の因数に分解できることは同様であるが，その内容は，テンプレート:制御と振動の数学/equation のような形をしている．ここに $c_{i} \in 𝐑, α_{j}, \overline{α_{j}} \in 𝐂$ で $\overline{α_{j}}$ は $α_{j}$ の共役複素数である．このとき解の基本系は，次の 3 種類の型のものから成り立っている．テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation Ⅰ型は実関数である．しかし，Ⅱ，Ⅲ型は複素数値関数である．これらを，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに $α = a + i b, \overline{α} = a - i b$ を用いて実関数の基本形に直すと，Ⅱ，Ⅲの変わりに，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'が実形式で表した解の基本形である．前章で求めたものと形は異なるが，この方が導出が簡単である．

例94

｛Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'｝が解の基本系となること，すなわち 1 次独立であることを示せ．

解答例

$♢$

非同次方程式の一般解は，同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは，前章と同様である．

ここに述べたように，一般に，理論的な話をするときには，複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい．しかし実際に初期値問題を解くときには，前章の手法の方が優れている．ただ，一般解を求めるのは，本章の方法によるのが賢明である．

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