制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その２

前項のベクトル・行列による表示をさらに一歩進めよう． テンプレート:制御と振動の数学/equation とおき，例 104 の解法をたどってみよう．このとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation に留意すれば，次のように簡潔に記述することができる．まず 式 (5.1) は テンプレート:制御と振動の数学/equation と表すことができる．これをLaplace 変換すれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを解けば， テンプレート:制御と振動の数学/equation この原像は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これは， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから式 (5.2) と一致する．

例 108 を同様に取り扱ってみよう． テンプレート:制御と振動の数学/equation とおけば，式 (5.3) は， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．これを Laplace 変換すれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを $ℒ[𝒙]$ について解けば， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．いま、 テンプレート:制御と振動の数学/equation とおけば， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．$\mathrm{\Phi }(t)$ は式 (5.8) で与えられているから，この結果は 式 (5.4) にほかならない．

このようにベクトル・行列表示を用いれば，連立微分方程式は，スカラの 1 階微分方程式と，形式的には全く同様に取り扱うことができる．

例111$$

例 109 を行列表示で解け．

解答例

$\{\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& =-y+f(t)\\ \frac{dy}{dt}& =x+g(t)\end{array}\{\begin{array}{c}x(0)=\alpha \\ y(0)=\beta \end{array}$

にて，$X⊏x,Y⊏y,F⊏f,G⊏g$ とおいて各式両辺をラプラス変換すると，

$\{\begin{array}{cc}sX-\alpha & =-y+F\\ sY-\beta & =x+G\end{array}$

$𝒙=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right),𝒙(0)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right),𝒇=\left(\begin{array}{c}f(t)\\ g(t)\end{array}\right)$

とおくと，

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=ℒ[𝒙]$

$\left(\begin{array}{c}F\\ G\end{array}\right)=ℒ[𝒇]$

より，

$sℒ[𝒙]-𝒙(0)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)ℒ[𝒙]+ℒ[𝒇]$

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=A$ とおくと，

$(sI-A)ℒ[𝒙]=ℒ[𝒇]+𝒙(0)$

$\therefore ℒ[𝒙]=(sI-A{)}^{-1}\cdot ℒ[𝒇]+(sI-A{)}^{-1}𝒙(0)$

いま，

$(sI-A{)}^{-1}⊏\mathrm{\Phi }(t)$

とおけば，この原像は，

$𝒙=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(t-\tau )𝒇(\tau )d\tau +\mathrm{\Phi }(t)𝒙(0)$

$\mathrm{♢}$