制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式

例108$$ テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

これを Laplace 変換すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを $ℒ[x],ℒ[y]$ について解くと，例104 で $\alpha$ と $\beta$ が $ℒ[f]$ と $ℒ[g]$ に代わっただけであるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，この原像 テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

$\mathrm{♢}$

例109$$

テンプレート:制御と振動の数学/equation を解け．

これは例 104 の解と例 108 の解との和である． $\mathrm{♢}$

例110$$

式 (5.5) を直接 Laplace 変換して解き上の事実を確かめよ．

解答例

$X⊏x,Y⊏y,F⊏f,G⊏g$ と置くと，

$\{\begin{array}{cc}sX-\alpha & =-Y+F\\ sY-\beta & =X+G\end{array}$

したがって，

$\left(\begin{array}{cc}s& 1\\ -1& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}F+\alpha \\ G+\beta \end{array}\right)$

$\therefore \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\frac{1}{s^2+1}\left(\begin{array}{cc}s& -1\\ 1& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}F+\alpha \\ G+\beta \end{array}\right)=\frac{1}{s^2+1}\left(\begin{array}{cc}s& -1\\ 1& s\end{array}\right)\{\left(\begin{array}{c}F\\ G\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)\}$

$=\frac{1}{s^2+1}\left(\begin{array}{cc}s& -1\\ 1& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}F\\ G\end{array}\right)+\frac{1}{s^2+1}\left(\begin{array}{cc}s& -1\\ 1& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$

あとは，例 104 や例 108 と解法は同じで、解 $x,y$ の $s$ 領域 $X,Y$ は例 104 ・例 108 の和であり、よってLaplace 変換の線形性より、これらの原像 $x,y$ も結局この二つの問題の解の和となる．

$\mathrm{♢}$