制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/別法

予告しておいたように，像関数を $s$ で微分することは，原像に $-t$ をかけることに対応する．

公式 3

証明

テンプレート:制御と振動の数学/equation を $s$ で項別微分すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる． $\mathrm{♢}$

よって補題2.3は テンプレート:制御と振動の数学/equation の原像であることが分かる．

一般に，加法と乗法の定義された代数系があって，演算 $T$ が， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation なる形式を有するとき，$T$ は微分演算と考えてよいのである．

例55$$

この公式 3を用いて公式 2を導け．

解答例

(1)

$\frac{d}{ds}\frac{1}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n-1}}=-2(n-1)\frac{s}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}$

を念頭において，

$\frac{1}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n-1}}⊏f_{n-1}$

公式 3を適用し，左辺を $s$ で微分した場合，

$-2(n-1)\frac{s}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}⊏(-t)f_{n-1}$

両辺を $-2(n-1)$ で割ると，($\because$Laplace 変換の線形性による．）

$\frac{s}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}⊏\frac{t}{2(n-1)}{f}_{n-1}$

(2)

$\frac{d^2}{d{s}^2}\frac{1}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n-1}}=\frac{d}{ds}(-\frac{2(n-1)s}{(s^2+{\beta }^2{)}^n})$

$=\frac{-2(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}+\frac{4n(n-1)s^2}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n+1}}$

$=\frac{-2(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}+4n(n-1)\left(\frac{(s^2+{\beta }^2)-{\beta }^2}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n+1}}\right)$

$=\frac{-2(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}+\frac{4n(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}-\frac{4{\beta }^{2}n(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n+1}}$

$=\frac{4n^2-4n-2n+2}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}-\frac{4{\beta }^{2}n(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n+1}}$

$=\frac{2(2n-1)(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^n}-\frac{4{\beta }^{2}n(n-1)}{(s^2+{\beta }^2{)}^{n+1}}$

この原像は，

$t^2{f}_{n-1}=2(2n-1)(n-1)f_n-4{\beta }^{2}n(n-1)f_{n+1}$

$4{\beta }^{2}n(n-1)f_{n+1}=2(2n-1)(n-1)f_n-t^2{f}_{n-1}$

$f_{n+1}=\frac{1}{4{\beta }^2}\{\frac{2(2n-1)}{n}{f}_n-\frac{t^2}{n(n-1)}{f}_{n-1}\}$

$=\frac{1}{2{\beta }^2}\{\frac{2n-1}{n}{f}_n-\frac{t^2}{2n(n-1)}{f}_{n-1}\}$

これが求める結果である． $\mathrm{♢}$