特殊相対論 ローレンツ収縮

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ローレンツ収縮

ある観測者にとって 時刻0で、x=0に左端があり、 x=lに右端がある 棒を考える。 このときx方向に速度vで移動している 観測者にとって (0,0)はそのままであるけれども (0,l)は、 $\gamma \left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ l\end{array}\right)$ $=\gamma \left(\begin{array}{c}-\beta l\\ l\end{array}\right)$ が得られ、右端と左端は 異なった時間にあるように見えることが分る。

右端は速度vで動いている観測者から見て 速度vで動いているように見えることから 右端の動いている観測者に対する運動は ($x-x_0=v(t-t_0)$ に適切な値を代入すると、) $x-\gamma l=v(t-\frac{1}{c}\gamma \beta l)$ と書かれる。 t = 0 とおくと、 $x=\gamma l-\frac{1}{c}\gamma \beta vl$, $x=\gamma l(1-{\beta }^2)$, $x=l\sqrt{1-{\beta }^2}$ が得られ、 $x<l$ つまり、棒が縮んでいるように見えることが分かる。 このことをローレンツ収縮と呼ぶ。