制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/定義と例

$f(t)$ を任意の有限な区間で積分可能の関数とするとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation を $f(t)$ の Laplace 変換ということ，およびその対応関係を記号 $⊏$ で表すことなどは， 前章と同じである．ただ異なるところは，

(1) $f(t)$ は実変数 $t$ の複素数値関数

(2) $s=\sigma +i\omega$ は複素数

の 2 点である．

例89$$

$1$ の Laplace 変換， テンプレート:制御と振動の数学/equation は $s$ が実数の場合と同様である．$\mathrm{R}\mathrm{e}s=\sigma >0$ ならば， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．ここに絶対値は複素数の絶対値を示す．よって， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．

$\mathrm{♢}$

例90$$ $e^{\alpha t}(\alpha =a+ib)$ の Laplace 変換 テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，例 89の $s$ が $s-\alpha$ に変わっただけである． よって $\mathrm{R}\mathrm{e}(s-\alpha )>0$ のとき Laplace 積分は存在して， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

$\mathrm{♢}$

例91$$ $e^{at}\cos bt$ の Laplace 変換 テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，例 90の結果を用いると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．

$\mathrm{♢}$

例92$$

$e^{at}\sin bt$ の Laplace 変換を例 91にならって求めよ．

解答例

定義 4.1 に従って，
$e^{(a+ib)t}=e^{at}[\cos bt+i\sin bt]$…①
$e^{(a-ib)t}=e^{at}[\cos bt-i\sin bt]$…②
$(\because \cos (-\theta )=\cos \theta ,\sin (-\theta )=-\sin \theta )$
$\cos bt$ を導出するのには ①＋② を考えた，ここでは，①－②を考えてみると，
$e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}=2i{e}^{at}\sin bt$
$e^{at}\sin bt=\frac{1}{2i}\{e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}\}$
$⊐\frac{1}{2i}\{\frac{1}{s-(a+ib)}-\frac{1}{s-(a-ib)}\}$
$=\frac{1}{2i}\frac{s-(a-ib)-\{s-(a+ib)\}}{s^2-2as+(a^2+b^2)}$
$=\frac{1}{2i}\frac{2ib}{(s-a{)}^2+b^2}=\frac{b}{(s-a{)}^2+b^2}$

$\mathrm{♢}$