一般相対性理論:微分可能多様体

<一般相対性理論

集合$\mathrm{M}$が滑らかな$n$次元多様体であるとは、次のような性質をもつ部分集合の族$\{O_{\alpha }\}$を持つことである。

1. 任意の点$p\in \mathrm{M}$は少なくとも一つの$O_{\alpha }$に属す。すなわち、$\mathrm{M}={\cup }_{\alpha }{O}_{\alpha }$
2. 任意の$\alpha$から、${ℝ}^n$の開部分集合$U_{\alpha }$への全単射${\psi }_{\alpha }:O_{\alpha }⟶U_{\alpha }$が存在する。
3. $O_{\alpha }\cap O_{\beta }$が空でないとき、写像${\psi }_{\alpha }\circ {\psi }_{\beta }^{-1}:{\psi }_{\beta }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]⟶{\psi }_{\alpha }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]$は滑らか。

2つ目の公理の全単射を局所座標といい、局所座標の族を局所座標系という。局所座標系はMに（局所座標が連続写像になるような）位相を誘導する。

例

• ユークリッド空間${ℝ}^n$は恒等写像を局所座標として自明に$n$次元多様体となる。
• 2次元球面$S^2=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$は多様体である。

ただしこの場合、$S^2$は${ℝ}^3$の開部分集合ではないので、包含写像は局所座標ではない。$S^2$の一部（たとえば、半円をひとつ）を除いた領域から${ℝ}^2$への写像を定めることができ、除く部分が重ならないようにすればこの定義域の全体は$S^2$となるので、局所座標系を構成できる。したがって$S^2$は2次元多様体となる。