一般相対性理論

リーマン幾何学

ここでは、ミンコフスキー空間の計量を ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ とする。

$g$ を計量テンソルの行列式とする。計量テンソルの $(\mu ,\nu )$ 小行列式を ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ とすると、

$\frac{\partial g}{\partial g_{\mu \nu }}={\tilde{g}}_{\mu \nu }=g{g}^{\mu \nu }$

となるから、

$dg=g{g}^{\mu \nu }d{g}_{\mu \nu }$

を得る。

$d\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}dg=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g{g}^{\mu \nu }d{g}_{\mu \nu }$

は、

$\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\lambda }}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\lambda }}$

となるから、

${\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\mu }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\lambda }}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\lambda }}$

を得る。

また、ベクトル $A^{\mu }$ に対して、

$A^{\mu }{}_{;\mu }=A^{\mu }{}_{,\mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\mu }{A}^{\lambda }=A^{\mu }{}_{,\mu }+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\lambda }}{A}^{\lambda }=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial (\sqrt{-g}{A}^{\lambda })}{\partial x^{\lambda }}$

となる。

ついでに、ラプラシアンの極座標における表式を求めてみよう。

$f^{;\mu }{}_{;\mu }={\left(g^{\mu \nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right)}_{;\mu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right)$

極座標では、 $g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,r^2,r^2{\sin }^2\theta )$ であるから、その逆行列は $g^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,\frac{1}{r^2},\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta })$ となる。また、$\sqrt{g}=r^2\sin \theta$ である。これらを代入することで、ラプラシアンが簡単に計算できる：

$\mathrm{△}f=f^{;\mu }{}_{;\mu }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

弱い重力場の計量テンソル

速度 $v\ll c$ で、重力ポテンシャル $\varphi$ の場の中にある質量 $m$ の粒子の作用は

$S=\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\varphi )dt$

で与えられる。一方、

$S=-mc\int ds$

であるから、

$ds=(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\varphi }{c})dt$

を得る。両辺を二乗して、$v\ll c$ となるから、

$d{s}^2=(c^2+2\varphi -v^2)d{t}^2=(c^2+2\varphi )d{t}^2-d{𝒓}^2$

ここで、$v^{2}d{t}^2=d{𝒓}^2$ を使った。また、計量テンソルは

$d{s}^2=c^2{g}_{00}d{t}^2+g_{11}d{x}^2+\cdots$

で定義されるものだから、

$g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1+\frac{2\varphi }{c^2},-1,-1,-1)$

を得る。

アインシュタイン方程式

電磁場との類推から、重力場のラグランジアンは、計量テンソルの一回微分 $g_{\mu \nu ,\lambda }$ に関する二次の量 $G$ であろう。しかし、 $g_{\mu \nu ,\lambda }$ は任意の一点ですべて0とすることができる。このことは、局所慣性系で ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$ をすべて0となることから明らかである。したがって、 $G$ はスカラーではない。ところで、リッチスカラー $R$ は

$R\sqrt{-g}=G\sqrt{-g}+{\partial }_{\mu }{D}^{\mu }$

の形に変形することができ、作用は

$\int R\sqrt{-g}{d}^{4}x=\int G\sqrt{-g}{d}^{4}x+\int {\partial }_{\mu }{D}^{\mu }{d}^{4}x$

のようになる。第二項の積分はガウスの定理よって、四次元の面積分に変換され、境界で $\delta g_{\mu \nu ,\lambda }=0$ という条件を課せば変分で第二項は消えることになる。

重力場のラグランジアンは $\kappa$ を定数として

${ℒ}_g=-\frac{1}{2\kappa }R$

で与えられることが分かる。物質場のラグランジアンを ${ℒ}_m$ とすれば、全系の作用は

$S=\frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }G+{ℒ}_m)\sqrt{-g}{d}^{4}x$

となる。変分は、

$\begin{array}{cc}\delta S& =\delta \frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }G+{ℒ}_m)\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =-\frac{1}{2\kappa c}\int (\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}-\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }{}_{,\lambda }})\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x+\frac{1}{c}\int \frac{\partial ({ℒ}_m\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x\\ & =\frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }{G}_{\mu \nu }+\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu })\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x\end{array}$

である。ただし、$G_{\mu \nu },T_{\mu \nu }$ はそれぞれアインシュタインテンソルとエネルギー・運動量テンソルで、

$G_{\mu \nu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}(\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}-\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }{}_{,\lambda }})$

$T_{\mu \nu }=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial ({ℒ}_{𝓂}\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}$

で定義される。

$\delta S=0$ という条件から、アインシュタイン方程式

$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

を得る。

しかし、まだアインシュタインテンソルの具体的な表式を得ていない。これを $G$ から計算することは大変だから、直接変分することによって求める。

$\delta \int g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x=\int (\delta g^{\mu \nu }(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R)+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu })\sqrt{-g}{d}^{4}x$

ここで、ある一点で ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=0$ となる局所慣性系を使うと、リッチテンソルは

$R_{\mu \nu }={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ,\lambda }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda ,\nu }^{\lambda }$

となり、その変分は、

$\delta R_{\mu \nu }=\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ,\lambda }^{\lambda }-\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda ,\nu }^{\lambda }$

で与えられる。

また、 $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$ はテンソルだから、任意の座標系で

$\delta R_{\mu \nu }=\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ;\lambda }^{\lambda }-\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda ;\nu }^{\lambda }$

となることがわかる。

よって、

$\begin{array}{cc}\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }& =\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }{)}_{;\lambda }-\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\lambda }{)}_{;\nu }\\ & =\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }{)}_{;\lambda }-\sqrt{-g}(g^{\mu \lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\nu }{)}_{;\lambda }\\ & ={\partial }_{\lambda }(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }-\sqrt{-g}{g}^{\mu \lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\nu })\end{array}$

となるから、これは積分して0となる。

最終的に、

$\begin{array}{cc}\delta \int R\sqrt{-g}{d}^{4}x& =\delta \int G\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =\int G_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =\int (R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R)\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x\end{array}$

となるから、アインシュタインテンソルは、

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$

である。

したがって、アインシュタイン方程式は、

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }$

となる。添字を上げて、

$R_{\nu }^{\mu }-\frac{1}{2}{\delta }_{\nu }^{\mu }R=\kappa T_{\nu }^{\mu }$

縮約を取ると、

$R=-\kappa T$

となる。よって、アインシュタイン方程式は、$T=T_{\mu }^{\mu }$ と置いて、

$R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }T)$

とも変形することが出来る。

エネルギー運動量テンソルの表式を求める。電磁場のラグランジアン

${ℒ}_m=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }$

について、公式

$\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial g^{\mu \nu }}=\frac{1}{2\sqrt{-g}}g{g}_{\mu \nu }$

を使ってテンソルの微分を実行すれば

$T_{\mu \nu }=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial ({ℒ}_{𝓂}\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}=2\frac{\partial {ℒ}_m}{\partial g^{\mu \nu }}-g_{\mu \nu }{ℒ}_m$

となる。ここで、

${ℒ}_m=-\frac{1}{4{\mu }_0}{g}^{\mu \alpha }{g}^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }{F}_{\mu \nu }=-\frac{1}{4{\mu }_0}{g}^{\mu \nu }{g}^{\alpha \beta }{F}_{\nu \beta }{F}_{\mu \alpha }$

となるから、

$\frac{\partial {ℒ}_m}{\partial g^{\mu \nu }}=-\frac{1}{4{\mu }_0}\times 2g^{\alpha \beta }{F}_{\mu \alpha }{F}_{\nu \beta }=-\frac{1}{2{\mu }_0}{F}_{\mu \alpha }{F}_{\nu }{}^{\alpha }$

となる。すなわち、

$T_{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}(-F_{\mu \alpha }{F}_{\nu }{}^{\alpha }+\frac{1}{4}{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }{g}_{\mu \nu })$

を得る。これは、ミンコフスキー空間では、特殊相対性理論での電磁場のエネルギー運動量テンソルに一致する。

最後に、アインシュタイン定数 $\kappa$ の値を求める。アインシュタイン方程式が、弱い重力場

$g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1+\frac{2\varphi }{c^2},-1,-1,-1)$

の極限で、さらに、静的な場合に、ニュートンの重力理論

$\mathrm{△}\varphi =4\pi G\rho$

に一致することを示し、定数を決定する。

エネルギー・運動量テンソルは、

$T_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}\rho c^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$T=g^{00}\rho c^2$

となる。アインシュタイン方程式の00成分は

$R_{00}=\frac{\kappa c^2}{2}\rho$

となる。クリストッフェル記号は

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }& =\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })\\ & \approx \frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })\end{array}$

と近似することができる。

また、リッチテンソルの $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Gamma }$ の項は、二次の微小量となるから無視すると、

$R_{\mu \nu }\approx {\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\alpha }$

と近似できる。

さらに、静的な場合だから、 $t$ に関する微分が0となることに注意すると、

$\begin{array}{cc}{R}_{00}& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{0\alpha }^{\alpha }\\ & \approx {\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{00}^i\\ & =-\frac{1}{2}{\partial }_i({\partial }_0{g}_{0i}+{\partial }_0{g}_{0i}-{\partial }_i{g}_{00})\\ & \approx \frac{1}{2}{\partial }_i{\partial }_i{g}_{00}\\ & \approx \frac{\mathrm{△}\varphi }{c^2}\end{array}$

となる。従って、

$\mathrm{△}\varphi =\frac{\kappa c^4}{2}\rho$

となる。この係数は $4\pi G$ であるから、

$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$

を得る。最終的に、アインシュタイン方程式は、

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

となる。

重力波

重力の効果が弱いとき、$h_{\mu \nu }$ を十分微小な量として、

$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$

と書くことができる。アインシュタイン方程式

$R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }T)$

は真空中では、

$R_{\mu \nu }=0$

となる。クリストッフェル記号は、

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }& =\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })\\ & \approx \frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{h}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{h}_{\mu \nu })\end{array}$

となる。リッチテンソルは $h_{\mu \nu }$ に対する二次の項を無視すれば、

$\begin{array}{cc}{R}_{\mu \nu }& \approx {\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\alpha }\\ & =\frac{1}{2}(-{\eta }^{\alpha \beta }{h}_{\mu \nu ,\alpha \beta }+h^{\alpha }{}_{\nu ,\alpha \mu }+h^{\alpha }{}_{\mu ,\alpha \nu }-h_{,\mu \nu })\\ \end{array}$

となる。$h=h^{\alpha }{}_{\alpha }$ である。ここで、${\xi }^{\mu }$ を微小量として、座標変換 $x{\text{'}}^{\mu }=x^{\mu }+{\xi }^{\mu }$ をすることによって、ゲージ条件

$h^{\alpha }{}_{\beta ,\alpha }=\frac{1}{2}{\delta }_{\beta }^{\alpha }{h}_{,\alpha }$

を課す事が出来る。ゲージ条件により、最後の三項は打ち消し合い、

$R_{\mu \nu }=-\frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \beta }{h}_{\mu \nu ,\alpha \beta }=-\frac{1}{2}◻h_{\mu \nu }$

となるから、アインシュタイン方程式は、

$◻h_{\mu \nu }=0$

と変形できる。これは波動方程式である。

参考文献

• エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、恒藤敏彦、広重徹訳『場の古典論（原著第6版）』東京図書（1978）
• 中嶋慧、松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』現代数学社（2020）