高等学校数学I 二次関数 演習A

この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題

問1

二次関数 $y=2x^2$ のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

1. $(2,3)$
2. $(-1,4)$
3. $(-4,-2)$

解答

問2

$x$の二次関数$y$のグラフが三点 $(2,3),(1,4),(-1,2)$ を通るとき、$y$を$x$の式で表せ。

解答

問3

四次関数 $y=x^4+2x^2+1$ の最小値、最大値を（あれば）求めよ。また $y$ がそれらの値を取るときの $x$ の値も求めよ。

解答

問4

二次関数$f(x)=2x^2-ax+a$の定義域$1\leqq x\leqq 5$における最大値$M$と最小値$m$を求めよ。

解答

解答

問1

1. $y=2(x-2{)}^2+3$ あるいは $y=2x^2-8x+11$。
2. $y=2(x+1{)}^2+4$ あるいは $y=2x^2+4x+6$。
3. $y=2(x+4{)}^2-2$ あるいは $y=2x^2+16x+30$。

問2

求める式を $y=a{x}^2+bx+c$ とおく。これらが与えられた点を通るから、

$\{\begin{array}{cc}3=4a+2b+c& \cdots (1)\\ 4=a+b+c& \cdots (2)\\ 2=a-b+c& \cdots (3)\end{array}$

がなりたつ。

(2) - (3) より $2=2b$。 よって、$b=1$ … (4)。

(1) - (3) より $1=3a+3b$。(4) を代入して、$a=-\frac{2}{3}$。

(1) より $c=3-4\times (-\frac{2}{3})-2=\frac{11}{3}$。

以上より、求める式は $y=-\frac{2}{3}{x}^2+x+\frac{11}{3}$。

問3

$x^2=t$と置くことで、$y$は$t$の二次関数となる。

$y=x^4+2x^2+1=(x^2{)}^2+2(x^2)+1=t^2+2t+1=(t+1{)}^2$

$t\ge 0$であることに注意すると、この関数は$t=0$のとき最小値1をとる。すなわち、$x=0$のとき最小値1をとる。

最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数$M$が$y$の最大値であるとする。 $M\ge 1$であるから、$x=\sqrt{-1+\sqrt{M+1}}$は実数である。そして、この$x$に対して

$y=(x^2+1{)}^2=M+1>M$

である。これは$M$が最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。

問4

$f(x)=2{(x-\frac{a}{4})}^2-\frac{a^2}{8}+a$

であるから、グラフの軸$x=\frac{a}{4}$の位置により場合分けする。

最大値については、

$\frac{a}{4}<3$のとき、すなわち$a<12$のとき、$M=f(5)=-4a+50$である。

$\frac{a}{4}\ge 3$のとき、すなわち$a\ge 12$のとき、$M=f(1)=2$である。

最小値については、

$\frac{a}{4}<1$のとき、すなわち$a<4$のとき、$m=f(1)=2$である。

$1\le \frac{a}{4}\le 5$のとき、すなわち$4\le a\le 20$のとき、$m=f(a)=-\frac{a^2}{8}+a$である。

$\frac{a}{4}>5$のとき、すなわち$a>20$のとき、$m=f(5)=-4a+50$である。