高等学校数学III/積分法/演習問題

第１問

次の不定積分を計算せよ。

(1) $\int \left(\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+1\right)dx$

(2) $\int \frac{x+5}{x^4+10x^3-9x^2-250x-400}dx$

(3) $\int \sin 2x\cos 3xdx$

(4) $\int \tan x^{\circ }dx$

(5) $\int \log \sqrt{x}dx$

(6) $\int \frac{x}{1+x^2}dx$

(7) $\int \frac{2}{\sqrt{1+x^2}}dx$

(8) $\int x\cdot 2^{x}dx$

第２問

次の定積分を計算せよ。

(1) $\underset{4}{\overset{9}{\int }}(x^2-13x+36)dx$

(2) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\sqrt{4-3x^2}dx$

(3) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+\sqrt{x}}dx$

(4) $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}3{\cos }^{2}2xdx$

第３問

水でいっぱいの半径$r$の球状の容器の最下端に小さな孔を開ける。水が流れ始めた時刻を$0$とし、時刻$0$から時刻$t$までにこの孔を通って流出した水の量を$f(t)$、時刻$t$における孔から水面までの高さを$y$とすれば、$y$と$f(t)$の関係は正の定数$a$を用いて$\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=a\sqrt{y}$と書けるという。

(1) 水面の降下する速さが最小となるのは、$y$がどのような値をとる時か。

(2) 水が流れ始めてから$y$が(1)で求めた値となるまでに要する時間を求めよ。

第４問　

ある惑星から鉛直に初速$v_0$で打ち上げられた宇宙船がある。惑星の半径を$R$、惑星表面での重力加速度を$g$とする。また、宇宙船には惑星の中心からの距離の平方に反比例する引力(比例定数$G$)が働いている。

(1) 惑星の中心からの距離が$r$の場所に宇宙船があるとき、宇宙船の速度$v$は以下の式を満たすことを証明せよ。

$v^2=\frac{2g{R}^2}{r}+{v_0}^2-2gR$

(2) (1)の関係式を用いて、宇宙船が再び惑星に戻ってこないようにするための初速$v_0$の条件を述べよ。

解答

第１問

積分定数をCとする。

(1) $\int \left(\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+1\right)dx=\frac{1}{12}{x}^4-x^3+x+C$

(2) $\int \frac{x+5}{x^4+10x^3-9x^2-250x-400}dx=\int \frac{1}{(x+2)(x-5)(x+8)}dx=\int \frac{1}{546}(-\frac{13}{x+2}+\frac{6}{x-5}+\frac{7}{x+8})dx=\frac{1}{546}(-13\log |x+2|+6\log |x-5|+7\log |x+8|)+C$

(3) $\int \sin 2x\cos 3xdx=\int \frac{1}{2}(\sin 5x-\sin x)dx=\frac{1}{10}(5\cos x-\cos 5x)+C$

(4) $\int \tan x^{\circ }dx=\int \tan \frac{\pi x}{180}dx=-\frac{180}{\pi }\log |\cos \frac{\pi x}{180}|+C$

(5) $\int \log \sqrt{x}dx=\int \frac{1}{2}\log xdx=\frac{1}{2}(x\log x-x)+C$

(6) $t=1+x^2$と置換すると$dt=2xdx$なので、

$\int \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\log \left|t\right|+C=\frac{1}{2}\log (1+x^2)+C$

(7) $t=x+\sqrt{1+x^2}$と置換すると$dt=\frac{t}{\sqrt{1+x^2}}dx$なので、

$\int \frac{2}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{2}{t}dt=2\log |t|+C=2\log (x+\sqrt{1+x^2})+C$

(8) $\int x\cdot 2^{x}dx=\frac{x\cdot 2^x}{\log 2}-\int \frac{2^x}{\log 2}dx=\frac{x\cdot 2^x}{\log 2}-\frac{2^x}{(\log 2{)}^2}+C=\frac{2^x(x\log 2-1)}{(\log 2{)}^2}+C$

第２問

(1) $\underset{4}{\overset{9}{\int }}(x^2-13x+36)dx=\frac{(9-4{)}^3}{6}=\frac{125}{6}$

(2) $t=\sqrt{4-3x^2}$と置換すると$dt=\frac{-3x}{t}dx$なので、

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\sqrt{4-3x^2}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{9}(-t^4+4t^2)dt=\frac{1}{135}[-3t^5+20t^3{]}_1^2=\frac{47}{135}$

(3) $t=\sqrt{1+\sqrt{x}}$と置換すると$4t(t^2-1)dt=dx$なので、

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+\sqrt{x}}dx=\underset{\sqrt{2}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}4(t^4-t^2)dt=\frac{4}{15}[3t^5-5t^3{]}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}=\frac{8(6\sqrt{3}-\sqrt{2})}{15}$

(4) $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}3{\cos }^{2}2xdx=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{3}{2}(1+\cos 4x)dx=\frac{3}{8}[4x+\sin 4x{]}_0^{2\pi }=3\pi$

第３問

(1) 水面の高さが$y$のとき、水面は面積$\pi (2ry-y^2)$の円なので、$\frac{df}{dy}=\pi (y^2-2ry)$である。 よって、合成関数の微分公式$\frac{df}{dt}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dt}$より

$\frac{dy}{dt}=\frac{\frac{df}{dt}}{\frac{df}{dy}}=\frac{a\sqrt{y}}{\pi (y^2-2ry)}$

である。$y$は時間とともに減少することに注意すると、水面が降下する速さは

$v=-\frac{dy}{dt}=\frac{a\sqrt{y}}{\pi (2ry-y^2)}$

である。これが最小になるような$y$を求めればよい。$y$で微分すると

$\frac{dv}{dy}=\frac{a\sqrt{y}(3y-2r)}{2\pi (2ry-y^2{)}^2}$

なので、$v$が最小になるのは$y=\frac{2r}{3}$のときである。

(2) 逆関数の微分公式より

$\frac{dt}{dy}=\frac{\pi (y^2-2ry)}{a\sqrt{y}}=\frac{\pi (y\sqrt{y}-2r\sqrt{y})}{a}$

なので、求める時刻は

$\underset{2r}{\overset{\frac{2r}{3}}{\int }}\frac{\pi (y\sqrt{y}-2r\sqrt{y})}{a}dy=\frac{2\pi }{15a}[y\sqrt{y}(3y-10r){]}_{2r}^{\frac{2r}{3}}=\frac{16r^2\sqrt{2r}\pi (9-2\sqrt{3})}{135a}$

である。

第４問

(1) $G{R}^{-2}=mg$より、$G=mg{R}^2$である。よって、惑星表面から、中心からの距離がrの場所まで移動する際、宇宙船が惑星の引力から受ける仕事は

$\underset{R}{\overset{r}{\int }}G{x}^{-2}dx=\underset{R}{\overset{r}{\int }}mg{R}^2{x}^{-2}dx=[-mg{R}^2{x}^{-1}{]}_r^R=mg(\frac{R^2}{r}-R)$

である。よって力学的エネルギー保存則より

$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{v}_0^2+mg(\frac{R^2}{r}-R)$

なので、整理して

$v^2=\frac{2g{R}^2}{r}+{v_0}^2-2gR$

を得る。

(2) 任意のrに対して$v^2>0$であればよい。$v^2$はrについて単調減少なので、

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }{v}^2=v_0^2-2gR\ge 0$

であればよい。すなわち、

$v_0\ge \sqrt{2gR}$

であればよい。