高等学校数学III/極限/演習A

この項は高等学校数学III 極限の演習問題Aである。

問題

問1

第$n$項が次の式で表される数列の極限を調べよ。また極限値が存在するならば求めよ。

(1) $\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}$.
(2) $\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$.
(3) $(-1{)}^n(1-\frac{2n}{3n-1})$.

問2

$r>1$ のとき、次を証明せよ。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{r^n}=0$.

問3

$a_n=\frac{k^n}{n!}$ の収束・発散について調べよ。極限値が存在する場合はこれを求めよ。ただし、$k$ は定数とする。

解答

問1

(1) $\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}=\frac{3}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1-\frac{1}{n}}$.
よって、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1})=4$.

(1)（別解） $\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}=3-\frac{3}{n+1}+1+\frac{1}{n-1}=4-\frac{3}{n+1}+\frac{1}{n-1}$.
よって、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1})=4$.

(2) $\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$.
よって、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{1}{2}$.

(2)（別解） $\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}^2}$.
よって、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{1}{2}$.

(3) $(-1{)}^n(1-\frac{2n}{3n-1})=(-1{)}^n(1-\frac{2}{3-\frac{1}{n}})$.
よって、$n$が偶数のとき$1-\frac{2}{3-\frac{1}{n}}$、$n$が奇数のとき$-1+\frac{2}{3-\frac{1}{n}}$なので、収束しない。（振動する）

(3)（別解） $(-1{)}^n(1-\frac{2n}{3n-1})=(-1{)}^n(1-\frac{2}{3}-\frac{2}{3(3n-1)})=\frac{(-1{)}^n}{3}-\frac{2(-1{)}^n}{3(3n-1)}$.
よって、$n$が偶数のとき$\frac{1}{3}-\frac{2}{3(3n-1)}$、$n$が奇数のとき$-\frac{1}{3}+\frac{2}{3(3n-1)}$なので、収束しない。（振動する）

問2

$\frac{n}{r^n}>0$は明らか。

$r>1$なので、$h>0$を用いて$r=1+h$と表せる。 $n\geqq 2$のとき、$r^n=(1+h{)}^n\geqq 1+nh+\frac{n(n-1)}{2}{h}^2$なので、

$\frac{n}{r^n}\leqq \frac{n}{1+nh+\frac{n(n-1)}{2}{h}^2}=\frac{1}{\frac{1}{n}+h+\frac{n-1}{2}{h}^2}\to 0(n\to \mathrm{\infty })$

である。したがって、はさみうちの原理より $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{r^n}=0$

問3

$\frac{k^n}{n!}>0$は明らか。

$k$は定数なので、$k<m$なる自然数$m$が取れる。 $n>m$のとき、

$\frac{k^n}{n!}=\frac{k\cdot k\cdot \cdots \cdot k\cdot k\cdot \cdots \cdot k}{1\cdot 2\cdot \cdots m\cdot (m+1)\cdot \cdots \cdot n}\leqq \frac{k\cdot k\cdot \cdots \cdot k\cdot k\cdot \cdots \cdot k}{1\cdot 2\cdot \cdots m\cdot m\cdot \cdots \cdot m}=\frac{m^m}{m!}{\left(\frac{k}{m}\right)}^n\to 0(n\to \mathrm{\infty })$

である。したがって、はさみうちの原理より $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k^n}{n!}=0$