解析学基礎/指数関数と対数関数

指数関数

定義

指数が整数のとき

$a>0$、$n\in \mathbb{N}$のとき、aをn回かけた数を$a^n$であらわす。すなわち、 $\underset{n\text{ 個}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}=a^n$である。
また、$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$、$a^0=1$とする。

このとき、$a^n$は、$a>1$のとき単調増加、$0<a<1$のとき単調減少、$a=1$のとき定数である。

指数が有理数のとき

$a>0$、$p\in \mathbb{N}$、$q\in \mathbb{Z}$のとき、$a^{\frac{q}{p}}=\sqrt[p]{a^q}$として定義する。

$p_1,p_2\in \mathbb{N},q_1,q_2\in \mathbb{Z},\frac{q_1}{p_1}>\frac{q_2}{p_2}$のとき、
${\left(\sqrt[p_1]{a^{q_1}}\right)}^{p_1{p}_2}-{\left(\sqrt[p_2]{a^{q_2}}\right)}^{p_1{p}_2}=a^{p_2{q}_1}-a^{p_1{q}_2}$
であることから、$a^q(q\in \mathbb{Q})$は、$a>1$のとき単調増加、$0<a<1$のとき単調減少、$a=1$のとき定数であることがわかる。

指数が実数のとき

$\alpha >0$を無理数とし、$\alpha$に収束する有理数の単調増加列を$r_n$とする。アルキメデスの原理より、$\alpha$より大きい自然数Nが存在する。 $a>1$とすると、そのようなNと十分大きいnに対し$1<a^{r_n}<a^N$なので、有界で単調な数列$a^{r_n}$は収束する。 この収束値は、$r_n$によらないことを示す。

$r_n,s_n$を、無理数$\alpha$に収束する有理数の単調増加列とし（したがって、$r_n,s_n<\alpha$)、$a^{r_n}\to \beta$とする。任意の$ϵ$に対して、$0<\beta -a^{r_N}<ϵ$を満たす自然数Nが存在し、$s_n$が$\alpha$に収束することから、nを十分大きくとれば、$r_N<s_n$を満たす。そのようなnに対し、$0<\beta -a^{s_n}<ϵ$なので、$a^{s_n}\to \beta$である。

この収束値の値を$a^{\alpha }$の値として定義する。 $0<a<1$についても同様である。また、$\alpha <0$のときは$a^{\alpha }=\frac{1}{a^{-\alpha }}$と定める。 定義から、指数関数$a^x(x\in ℝ)$は$a>1$のとき単調増加、$0<a<1$のとき単調減少、$a=1$のとき定数である。

性質

$s,t\in ℝ,a,b>0$のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。

• $a^s{a}^t=a^{s+t}$
• $(a^s{)}^t=a^{st}$
• $(ab{)}^s=a^s{b}^s$

証明

また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。

• $a>1$のとき$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$
• $0<a<1$のとき$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

証明

対数関数

定義

指数関数$y=a^x$の逆関数を$y={\log }_{a}x$と書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略して$y=\log x$と書く。

性質

定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。$0<a,b\ne 1,x,y,r\in ℝ,x,y>0$のとき、

• ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$
• ${\log }_a{x}^r=r{\log }_{a}x$
• ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$
• 対数関数は連続である。
• $a>1$のとき$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty },\underset{x\to +0}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$
• $0<a<1$のとき$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty },\underset{x\to +0}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

証明