解析学基礎/双曲線関数

双曲線関数

双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

「sinh」は「ハイパーボリックサイン（hyperbolic sine）」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン（hyperbolic cosine）」の略です。

性質

双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、$e^x$の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。

1. cosh² x − sinh² x = 1
2. sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
3. cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β
4. $\frac{d}{dx}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x$
5. $\frac{d}{dx}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x$

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

単位円の上の点の座標は、三角関数を使って$(x,y)=(cost,sint)$と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を$(x,y)=(cosht,sinht)$と表すことができることがわかります。

使いかた

置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$

は$x=sint$という置換によって

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}co{s}^{2}tdt$

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^2}dx$

という積分を計算してみましょう。まず、$x=sinht$と置換すると

$\underset{0}{\overset{\log (1+\sqrt{2})}{\int }}cos{h}^{2}tdt$

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

$\frac{\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})}{2}$

です。