線型代数学/行列と行列式/第三類/直線・平面

まず，ベクトルによって平面上の直線を表す方法を確認する．

定義3 直線の方程式（パラメータ表示）

平面上の点 $A (\vec{a})$ を通り， $\vec{u}$ に平行な直線を $l$ とする．この $l$ 上の点を $P$ とし， $\vec{O P} = \vec{x}$ とする．すると $\vec{A P} = t \vec{u}$ を満たす実数 $t$ があって，

$\vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}$

$(\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P})$

と表される．

これを直線 $l$ のベクトル方程式という．

$t$ は媒介変数，または パラメータ と呼ばれる．

これは平面上の直線を表しているが，空間内の直線を表す場合でも同じ要領であらわすことができる．上で「平面上の」を「空間内の」に読み替えれば済むからである．

演習2.

座標平面上の点 $A (- 4, 5)$ を通り， $\vec{u} = (- 1, 3)$ に平行な直線 $l$ を、 $a x + b y + c = 0$ の形で表せ．

解答例1

$l$ 上の点 $P$ について，ある実数 $t$ があって，

\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P} = (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - t - 3 \\ 3 t + 5 \end{matrix})

$P$ の座標を $(x, y)$ とすれば， $x = - t - 4, y = 3 t + 5$ ．これから t を消去する． $3 x + y$ を考えると $t$ が消えることが容易に予想されるので，このまま $3 x + y$ を計算すると，

3 x + y = 3 (- t - 4) + (3 t + 5)

= - 3 t - 12 + 3 t + 5

= - 7

すなわち

3 x + y + 7 = 0

$◼$

解答例2

パラメータ $t$ を用いない方法を示す．問題の直線 $l$ は $\vec{u} = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})$ に平行であったが，これに垂直なベクトル $\vec{h} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ （成分を逆さにして片方にマイナスをつけた．すると $\vec{u} \cdot \vec{h} = 0$ ^[1]．）を用いれば次のように表現できる．

$l$ は $A (\vec{a})$ を通り $h$ に垂直だから，この $l$ 上に $P$ をとり， $\vec{O P} = \vec{x}$ とすると， $P$ が $l$ 上にある．

$\Leftrightarrow \vec{A P} ⊥ \vec{h}$

$\Leftrightarrow (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{h} = 0$ …①

$P$ の座標を $(x, y)$ とすれば， $\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}), \vec{a} = (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}), \vec{h} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ なので，①より

{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 0

$∴ (\begin{matrix} x + 4 \\ y - 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

$∴ 3 (x + 4) + y - 5 = 0$

$∴ 3 x + y + 7 = 0$

となり，同じ直線の式が得られた．

$◼$

①のように、平面上の直線をベクトルで表す方法にはパラメータを用いない方法もある．

定義4 直線の方程式（ $a x + b y + c = 0$ ）

平面上の点 $A (\vec{a})$ を通り， $\vec{h}$ に垂直な直線を $l$ とする．この $l$ 上に点 $P$ をとり， $\vec{O P} = \vec{x}$ とすると， $\vec{x}$ は

$(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{h} = 0$

を満たす． $P$ の座標を $(x, y)$ として成分を計算すると．

$a x + b y + c = 0$

の形をしている．

次に，問題を解きながら空間内の平面の表し方を解説してゆく．

演習3.

座標空間の点 $A (0, 2, 1)$ を通り， $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$ に平行な平面を $π$ とする． $π$ 上の点 $P$ について， $\vec{O P}$ をパラメータ $s, t$ を用いて表せ．また， $P$ の座標を $(x, y, z)$ をするとき， $x, y, z$ が満たす等式を求めよ．

解答

$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}), \vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$ とおく． $\vec{A P}$ は $π$ に含まれるベクトルだから，ある実数 $s, t$ を用いて $\vec{A P} = s \vec{u} + t \vec{v}$ と表すことができる^[2]．

$\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P}$

= \vec{O A} + s \vec{u} + t \vec{v}

= (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

すなわち $P (x, y, z)$ として

${\begin{matrix} x = s + 2 t \\ y = 2 - 2 s - t \\ z = 1 + s + 3 t \end{matrix}$

これらからパラメータ $s, t$ を消去する．

$x + 2 y = s + 2 t + 2 (2 - 2 s - t) = - 3 s + 4$
$∴ s = \frac{4 - x - 2 y}{3}$
$2 x + y = s (s + 2 t) + 2 - 2 s - t = 3 t + 2$
$∴ t = \frac{2 x + y - 2}{3}$
これを $z = 1 + s + 3 t$ に代入して
$z = 1 + \frac{4 - x - 2 y}{3} + 3 \cdot \frac{2 x + y - 2}{3}$
$3 z = 3 + 4 - x - 2 y + 3 (2 x + y - 2)$
$∴ 5 x + y - 3 z = - 1$

次に $π$ に垂直なベクトル（法線ベクトルという）を用いて，関係式を求める．

$π$ に垂直なベクトル $\vec{h}$ は $\vec{u}, \vec{v}$ のそれぞれに垂直だから， $\vec{h}$ は $\vec{u} \times \vec{v}$ に平行である^[3]．だから，

$\vec{h} = \vec{u} \times \vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})$ とおくことができる．

$\vec{O P} = \vec{x}, \vec{O A} = \vec{a}$ とする．すると，

P

が

π

上にある

⟺ \vec{A P} ⊥ \vec{h}

⟺ (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{h} = 0

$P$ の座標を $(x, y, z)$ とすれば， $\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}), \vec{a} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ ，

$(\begin{matrix} x - 0 \\ y - 2 \\ z - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = - 5 x - (y - 2) + 3 (z - 1) = 0$

$∴ 5 x + y - 3 z = - 1$

これが平面 $π$ の方程式である．平面の方程式の係数 $(5, 1, - 3)$ を並べると平面の法線ベクトルになっている．

一般の形でまとめておく．

定義5 平面の方程式（パラメータ表示）

空間内の点 $A (\vec{a})$ を通り， $\vec{u}, \vec{v}$ に平行な平面を $π$ とする．この $π$ 上の点を $P$ とし， $\vec{O P} = \vec{x}$ とすると， $\vec{A P} = s \vec{u} + t \vec{u}$ を満たす実数 $s, t$ があって， $\vec{x}$ は，

\vec{x} = \vec{a} + s \vec{u} + t \vec{v} (\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P})

と表される．

定義6 平面の方程式（ $a x + b y + c z + d = 0$ ）

空間上の点 $A (\vec{a})$ を通り， $\vec{h}$ に垂直な平面を $π$ とする．この $π$ 上に点 $P$ をとり， $\vec{O P} = \vec{x}$ とする． $\vec{x}$ は，

(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{h} = 0 (\vec{A P} ⊥ \vec{h})

を満たす． $P$ の座標を $(x, y, z)$ として，成分を計算すると

a x + b y + c z + d = 0

の形になり，ベクトル $(a, b, c)$ は $\vec{h}$ に平行である．

↑ ベクトル $\vec{a} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ に対してベクトル $\vec{b}$ を， $\vec{b} = (\begin{matrix} y \\ - x \end{matrix})$ とすると $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} y \\ - x \end{matrix}) = x y + y (- x) = 0$ ．あるいは $\vec{b} = (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix})$ としても $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}) = x (- y) + y x = 0$ で同様となる．
↑ ただし $\vec{u}, \vec{v}$ が線形独立である必要がある．ここでは $\vec{u}, \vec{v}$ の向きは平行ではなく，これを満たす
↑ 定理5 (1) $\vec{a} \times \vec{b}$ は， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ の両方と直交する．

[1] ベクトル $\vec{a} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ に対してベクトル $\vec{b}$ を， $\vec{b} = (\begin{matrix} y \\ - x \end{matrix})$ とすると $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} y \\ - x \end{matrix}) = x y + y (- x) = 0$ ．あるいは $\vec{b} = (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix})$ としても $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}) = x (- y) + y x = 0$ で同様となる．

[2] ただし $\vec{u}, \vec{v}$ が線形独立である必要がある．ここでは $\vec{u}, \vec{v}$ の向きは平行ではなく，これを満たす

[3] 定理5 (1) $\vec{a} \times \vec{b}$ は， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ の両方と直交する．

[1]

[2]

[3]

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