線型代数学/線形写像

線型変換

単位ベクトル

次の2つの2次元ベクトルを、R²の単位ベクトル（unit vector）という。

${𝐞}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,　 ${𝐞}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

また、次の3つの3次元ベクトルをR³の単位ベクトルという。

${𝐞}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$,　 ${𝐞}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$,　 ${𝐞}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。 三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。 このような性質を指して、単位ベクトルの組はR²(R³)の基底（basis）であるという。

R²の線型変換

行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$　　　　　　(6.1)

のことである。同時に行列

$B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& d\end{array}\right)$との掛け算を

$BA=\left(\begin{array}{cc}ap+cq& bp+dq\\ ar+cs& br+ds\end{array}\right)$

対してベクトル $𝐱=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

との掛け算は、

${𝐱}^{\prime }=A𝐱=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)$

と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって 位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。

例えば、

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。

　次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。

${𝐱}^{″}=B(A𝐱)=B{𝐱}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(ap+cq)x+(bp+dq)y\\ (ar+cs)x+(br+ds)y\end{array}\right)$

　　　 $=(AB)𝐱=\left(\begin{array}{cc}ap+cq& bp+dq\\ ar+cs& br+ds\end{array}\right)𝐱$

よって、x=B(Ax)=(BA)x

行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。

A(BC)=(AB)C

$\{\begin{array}{c}A(𝐱+𝐲)=A𝐱+A𝐲)\\ A(c𝐱)=(Ac)𝐱\end{array}$　　　　　(6.2)

特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるR²の変換T_A:x→Ax(「T_AはxのAxへの変換」と言う意味）の線型性（linearity）と言う。一般にR²変換Tが、次の性質を満たすとき、TをR²の線型変換（linear transformation）という。

$\{\begin{array}{c}T(𝐱+𝐲)=T𝐱+T𝐲\\ T(c𝐱)=c(T𝐱)\end{array}$

一般に次の定理が成り立つ。

定理(6.1)

TをR²上の変換とするとき、

Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

(証明) $\Leftarrow$は既に示した。$\Rightarrow$を示す。

単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。（その理由は別のところで述べる）

$T{𝐞}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$　 $T{𝐞}_2=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$とする。

任意の$𝐱=x{𝐞}_1+y{𝐞}_2$

Tは線型変換なので、

$T𝐱=T(x{𝐞}_1+y{𝐞}_2)=xT{𝐞}_1+yT{𝐞}_2=x\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$

　　$=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とすれば、

Tx=Ax　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　♯

Aによって引き起こされる変換をT_Aと書くこともある。

行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルをoに移す変換であり、対応する行列を零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、特にOと書く。

• 
  写像 $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ を $f(x,y)=(2x,y)$ で与える。この写像は線形写像である。 この写像はベクトルの $x$ 成分を $2$倍にする。
• 
  写像 $f(x,y)=(2x,y)$ について $f(a+b)=f(a)+f(b)$ が成り立つ。
• 
  写像 $f(x,y)=(2x,y)$ について $f(\lambda a)=\lambda f(a)$ が成り立つ。

例

全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列（rotation matrix）と呼ばれる。対応する行列は

$\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$である。

演習

1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ

2.T_BT_A=T_BAを示せ。

3.

　Txをxのaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時

　$𝐚=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$　 $a^2+b^2=1$ とすると、Tに対応する行列を求めよ

4.

　(a,b)=0,a,b≠o

　S:aへの射影子,　　T:bへの射影子

　とする。この時次の三つを証明せよ。

　(1)T^2=S　(2)TS=ST=O　(3)任意のxに対して、Tx+Sx=x

R³の線型変換

前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)$

も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。

ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、

$𝐱=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$に対しては、 $A𝐱=\left(\begin{array}{c}{a}_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\ a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z\\ a_{3,1}x+a_{3,2}y+a_{3,3}z\end{array}\right)$が、

$B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& b_{1,3}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& b_{2,3}\\ b_{3,1}& b_{3,2}& b_{3,3}\end{array}\right)$と $AB=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{1,1}& c_{1,2}& c_{1,3}\\ c_{2,1}& c_{2,2}& c_{2,3}\\ c_{3,1}& c_{3,2}& c_{3,3}\end{array}\right)$にたいしては、

$c_{k,j}=\sum _{i=1}^3{a}_{k,i}{b}_{i,j}$(i,j=1,2,3)

が定義されている。次のような性質がある。

(AB)x=A(Bx),　(AB)C=A(BC)

A(x+y)=Ax+By,　A(cx)=(Ac)x　　　　　(6.3)

R³における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。

T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=c(Tx)

前部とまったく同様に次の定理が導ける

定理(6.2)

　R³においてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax

Aによって引き起こされる変換をT_Aと書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルをoに線形変換する行列であり、これを零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、Oと書く。

例

　y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は

$\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & 0& -\sin \alpha \\ 0& 1& 0\\ \sin \alpha & 0& \cos \alpha \end{array}\right)$

演習

1.定理(6.2)を証明せよ

2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か

　(1)$\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$　 (2)$\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$　 (3)$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

3.

　$𝐚=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$,　$a^2+b^2+c^2=1$

　この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。

4.

　bとcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'（位置ベクトルx')とするとき、x'をxの正射影、Tx:　x→x'をb,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xのaへの射影子をS,xのb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ

　(1)T²=T　(2)TS=ST=O　(3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x