数と式（新課程）

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1.式の計算

a.項

$7, x, 8 y, 6 a b^{2}$ のように、 $3$ や $12$ などの数（定数）や、 $x$ や $y$ などの文字（変数）を掛けあわせたものだけで表現される式を項と言う。

項では、数の部分を係数と呼び、文字が掛け合わされている数を次数と呼ぶ。
一つの項だけで表現される式を単項式という。
例1

$4 x$ の係数は $4$ 、次数は $1$
$12 a^{2}$ の係数は $12$ 、次数は $a$ が2個掛け合わされているので $2$
$8 x^{2} y z^{3}$ の係数は $8$ 、次数は $x$ が2個、 $y$ が1個、 $z$ が3個掛け合わされているので $6$
$45$ の係数は $45$ 、次数は文字が一つも掛け合わされていないので $0$

但し、数 $0$ の次数は考えない。これは、
$0 = 0 x = 0 x^{2}$ …と次数が一つに定まらないためである。

練習1:次の単項式の係数と次数を言え。

$x^{2}$
$9 x y^{3}$
$- 8 a b c$

単項式が2種類以上の文字を含むとき、特定の文字に着目して係数や次数を考えることができる。
この時、残りの文字は数とみなして扱う。

例2: $12 a b^{4} x$

$a$ に着目すると、係数は $12 b^{4} x$ 、次数は $1$
$a$ と $b$ に着目すると、係数は $12 x$ 、次数は $5$

練習2:単項式 $- 9 a^{2} b x^{3}$ について次の文字に着目した場合の係数と次数を言え。

$x$
$a$ と $b$

$6 x + 5$ や $x^{2} + 4 y - 8$ のように、複数の項が足し合わされてあらわされる式を多項式と呼ぶ。
多項式の中に含まれる単項式は、項と呼ばれる。
単項式は、項が一つの多項式と考えられるため、単項式は多項式に含まれる。
多項式のことを整式と呼ぶ。

b.整式の計算

整式の項の中で、文字と指数がまったく同じである項を総称して同類項という。
同類項は分配法則を使って一つの項にまとめることができる。
例3:

$4 a - 5 a + 6 = - a + 6$
$x^{2} + 4 x^{2} + 6 x = 5 x^{2} + 6 x$

練習3: 次の整式の同類項をまとめよ。

$7 x y + 6 y - 5 x + 2 x y$
$6 + 5 a^{3} + 4 a^{2} - 3 a^{3} + 2 a^{2} - 1$

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