地震学 地震波の伝播

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地震波の伝播

地震が発生すると、地球の内部を地震波が伝播する。 ここでは、地球を弾性体と見なし、弾性波動論の立場から地震波を説明する。 以下では、特に断らない限り、空間の次元は三次元とし、直交座標系はデカルト座標系の左手系とする。

運動方程式

応力とひずみ

無限に広がる弾性体を考え、その中の1点$\overrightarrow{x}=(x,y,z)$での変位の$x$, $y$, $z$成分をそれぞれ$u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$で表す。 $\overrightarrow{x}$から$x$方向に微小な距離だけ離れた点$\overrightarrow{x^{\prime }}=(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)$での変位$u$を$u(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)$とする。 このとき、$u(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)$を$\overrightarrow{x}$の周りでテーラー展開し、1次の微小量までを残すと

$u(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)=u(x,y,z)+\frac{\partial u}{\partial x}\delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\delta y+\frac{\partial u}{\partial z}\delta z$

で近似できる。 したがって、$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x^{\prime }}$の間の相対的な変位は

$u(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-u(x,y,z)=\frac{\partial u}{\partial x}\delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\delta y+\frac{\partial u}{\partial z}\delta z$

と表せる。 同様に

$v(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-v(x,y,z)=\frac{\partial v}{\partial x}\delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\delta y+\frac{\partial v}{\partial z}\delta z$

$w(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-w(x,y,z)=\frac{\partial w}{\partial x}\delta x+\frac{\partial w}{\partial y}\delta y+\frac{\partial w}{\partial z}\delta z$

が得られる。

フックの法則

応力とひずみの関係はフックの法則と呼ばれ、次の関係式で表される。

${\sigma }_{ij}=c_{ijkl}{\epsilon }_{ij}$

$c_{ijkl}$は弾性定数と呼ばれ、弾性体の性質を表す定数である。 弾性定数は4階のテンソルであり、81個の成分を持つ。