制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質

前章と同様に，次の基本的性質が成立する． $f (t), g (t)$ を複素数値関数， $α, β$ を複素数とする．

複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質

Ⅱ $f (t) ⊐ F (s), g (t) ⊐ G (s)$ とすれば，テンプレート:制御と振動の数学/equation

証明

第 1 段： $f (t), g (t)$ が実数値関数のとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation $s = σ + i ω$ とすると，積分の定義から，テンプレート:制御と振動の数学/equation である．第 1 項を $I_{1}$ ，第 2 項を $- i I_{2}$ とおき，積分順序を交換すると，前章と同様にして^[1]，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．よって $I_{1} - i I_{2}$ は再び積分の定義により，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．よって前章と同じ関係式，テンプレート:制御と振動の数学/equation

ここで積分変数を $ξ : = t - τ$ と変更すれば，積分の基本的性質Ⅲにより^[2]，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．これで $f (t), g (t)$ が実数値関数のとき^[3]証明ができた．次に，

第 2 段： $f = f_{1} + i f_{2}, g = g_{1} + i g_{2}$ のときを証明する．テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質Ⅱを用いればよい^[4]． $♢$

このように，基本的性質が示されたので前章と同様に，微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる．例えば，

微分テンプレート:制御と振動の数学/equation など．これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる．また，

移動定理 テンプレート:制御と振動の数学/equation などの証明も，前章と全く同様である．

↑ $\int_{0}^{\infty} d t {\int_{0}^{t} d τ f (t - τ) g (τ)} e^{- s t} = \int_{0}^{\infty} d τ {\int_{τ}^{\infty} d t f (t - τ) e^{- s t}} g (τ)$
↑ $ξ = t - τ$ により積分変数を $t$ から $ξ$ に変更すると，
$t = ξ + τ, t : τ \to \infty$ より $ξ : 0 \to \infty, d ξ = d t$
$\int_{0}^{\infty} {\int_{τ}^{\infty} f (t - τ) e^{- s t} d t} g (τ) d τ = \int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{\infty} f (ξ) e^{- s (ξ + τ)} d ξ} g (τ) d τ$
$= \int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{\infty} f (ξ) e^{- s ξ} d ξ} e^{- s τ} g (τ) d τ$
$= \int_{0}^{\infty} f (ξ) e^{- s ξ} d ξ \cdot \int_{0}^{\infty} e^{- s τ} g (τ) d τ$
↑ で、 $s$ が複素数のとき
↑ $\int {(f_{1} * g_{1} - f_{2} * g_{2}) + i (f_{1} * g_{2} + f_{2} * g_{2})} e^{- s t} = \int f_{1} e^{- s t} d t \int g_{1} e^{- s t} d t - \int f_{2} e^{- s t} d t \int g_{2} e^{- s t} d t + i {\int f_{1} e^{- s t} d t \int g_{2} e^{- s t} d t + \int f_{2} e^{- s t} d t \int g_{2} e^{- s t} d t}$
$= \int (f_{1} + i f_{2}) e^{- s t} d t \cdot \int (g_{1} + i g_{2}) e^{- s t} d t$

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