制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/正弦波入力に対する定常応答

前節で述べた複素振幅の方法に関連して，安定論の立場から若干の補足をしておこう． テンプレート:制御と振動の数学/equation は安定な微分方程式としておく．つまり $f(t)=0$ とおいた同次式の解は，十分時間が経過した後では消えるものとする．なお式 (4.15) の係数は実数であるとする．さて， テンプレート:制御と振動の数学/equation のとき，式 (4.15) の任意の解は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ここに，$p(s)$ は特性多項式で，

(i) $x_0(t)$ は同次式の解

(ii) $p(i\omega )=|p(i\omega )|e^{i\theta }$

である．系が安定であるから， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．よって，十分時間が経過した後では，どんな初期条件から出発した解も，定常解 $x_s(t):$ テンプレート:制御と振動の数学/equation に近づく．この結果をLaplace 変換による解法から導いてみよう． 式 (4.15) の解は テンプレート:制御と振動の数学/equation と書けるのであった．ここに $x_0(t)$ は同次式の解で， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．$t\to \mathrm{\infty }$ のとき，式 (4.17) で $x_0(t)$ は消えるから，第 2 項だけが問題になる． テンプレート:制御と振動の数学/equation を式 (4.17) の右辺第 2 項に代入すると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．ところで，式 (4.18) から， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるので，式 (4.19) は， テンプレート:制御と振動の数学/equation に漸近する．事実，$t\to \mathrm{\infty }$ のとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation となるからである．このことは，言い換えれば式 (4.20) の無限積分の存在は，$g(t)$ が安定な同次方程式 $p(D)x=0$ の解であることから保証される．すなわち，このとき既述のように， テンプレート:制御と振動の数学/equation なる評価ができるから，$g(t)$ の Laplace 変換は $\mathrm{R}\mathrm{e}s=0$ において存在する．

最後に，この問題の工学的応用に触れておこう．ここで議論したことは， 式 (4.15) が安定な微分方程式ならば， これに正弦波が入力として加えられたとき，それに対する応答は，しばらく待てば同じ周波数の正弦波になるということである． それでは，任意の波形を持った信号が入力として加えられたとき，しばらく待つと同じ波形の応答が得られるであろうか．この問題を考えてみる． 記録器に対してはこのことが要求される．

さて任意の信号 $f(t)$ は，ある範囲 $0\leqq t\leqq T$ で，いくつかの正弦波で近似できる．すなわち， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation この信号に対する式 (4.15) の定常応答は，重ね合わせの原理と上の議論から， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．これが $f(t)$ とほぼ同じ波形となるためには，

(i) $|p(in\omega |,n=0,1,\cdots ,N$ がほぼ一定（$\fallingdotseq B$）

(ii) ${\theta }_n$ がほぼ $n$ に比例する．（$n{\omega }_0)$）

という条件があればよいことが分かる．このとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となり，所期の目的を達成する．

$\omega$ を変数と考え，$p(i\omega )$ を系 (4.15) の周波数特性と呼ぶことにすれば，上の条件は“考えている周波数範囲では，周波数特性があまり変わらない”ということである（$p(i\omega )$ の偏角は $\omega$ に比例して変わってもよい）。この条件は周波数の小さい範囲で現実できる．言い換えれば，入力信号の変動が余り激しくなければ，出力応答はそれに追従するということで，あたりまえの結果である．交流を直流の計器で計る場合を想像してみればよい．