制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別

平面上の 1 点 $a$ と閉曲線 $C$ が与えられているとき， $C$ が $a$ を何回まわるか，その回転数を数えることによって，安定判別をする方法がある．結果を述べる前に若干の準備をしておこう．

回転数

$C$ は $a$ を通らない閉曲線とする．動点 $s$ が $C$ 上を動くとき，半直線 $\vec{a s}$ が $a$ の周りを正の向き（反時計まわり）に回る回数を， $C$ の $a$ のまわりの回転数といい，テンプレート:制御と振動の数学/equation で表す．

例100

$C$ を単純閉曲線^[1]とすると，テンプレート:制御と振動の数学/equation $♢$

テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立する．ここに，複素数 $s - a$ を極表示したものを $s - a = r e^{i θ}$ とし，テンプレート:制御と振動の数学/equation とおいている．

定理 4.3 偏角変化量の原理

$p (s)$ を $n$ 次の多項式， $C$ を $s$ 平面上の単純閉曲線とし， $p (s)$ の根は $C$ 上にはないものとする．このとき， $Γ$ を $ω = p (s)$ による $C$ の像，すなわち $Γ : = p (C)$ とすると，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立する．

証明テンプレート:制御と振動の数学/equation とする． $α_{i}$ は重複していてもよい．複素数の偏角を $a r g$ で表すと，テンプレート:制御と振動の数学/equation よって，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる^[2]．上述のように， $r (C, α_{i})$ は $α_{i}$ は $C$ の内部にあるときだけ $1$ で，その他のときは $0$ であるから求める結果を得る． $♢$

定理 4.4 テンプレート:制御と振動の数学/equation において， $s$ が虚軸上を下から上まで動くとき， $ω = p (s)$ の軌跡が $ω$ 平面の原点を通らずに，原点を $\frac{n}{2}$ 回まわれば， $p (s)$ の根はすべて $s$ 平面の左半平面に存在する．逆も成立する．

証明

左半平面を囲む半径 $\infty$ の半円を考え，これを $C$ とする． $C$ 内に $n$ 個の根が存在することをいえばよい．いまこの半円 $C$ を虚軸上の部分 $C_{1}$ と円弧部分 $C_{2}$ に分け，テンプレート:制御と振動の数学/equation とする．このとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation である．仮定は $r (Γ_{1}, 0) = \frac{n}{2}$ である．さて， $s \in C_{2}$ のとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation と表すと，半径 $\infty$ （十分大）であるから $ε (s) ≒ 0$ である．この偏角は，テンプレート:制御と振動の数学/equation となるが， $s$ が $C_{2}$ を動くとき， $a r g {1 + ε (s)}$ の変化量は $0$ である． $C_{2}$ は $s$ 平面上の原点を正の方向に半周するから， $n a r g s$ の変化量は $\frac{n}{2}$ である．よって，テンプレート:制御と振動の数学/equation それゆえ，テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．このことは $p (s) = 0$ の根がすべて $s$ 平面の左半平面に位置していることを示す．逆は明らかであろう． $♢$

例101

テンプレート:制御と振動の数学/equation の場合を考えてみよう． $s = i ω (ω \in 𝐑)$ とおき実部と虚部とに分けると，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる． $a_{1} = 0$ なら， $s$ 平面の虚軸の像 $Γ_{1} = p (i ω), - \infty < ω < \infty$ は $y$ 軸に平行な直線であるから， $r (Γ_{1}, 0) = \pm \frac{1}{2}$ となって^[3] 不安定である．そこで $a_{1} \neq 0$ とする．式 (4.14) から $ω$ を消去すると，テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに，テンプレート:制御と振動の数学/equation となる． $y^{2} > 0$ であるから，テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．いずれの場合も $ω$ が $- \infty$ から $+ \infty$ へ動くとき式 (4.14) から分かるように， $y$ は $+ \infty$ から $- \infty$ へ動く．つまり $Γ_{1}$ 上を上から下へ動く．したがって， $a_{1} < 0$ なら $a_{3}, H_{2}$ がどんな値をとっても， $r (Γ_{1}, 0)$ は $\frac{3}{2}$ にならない^[4]． $a_{1} > 0$ のとき，原点を囲むような形となるときだけ，テンプレート:制御と振動の数学/equation が成立する．このとき，テンプレート:制御と振動の数学/equation である．すなわち，テンプレート:制御と振動の数学/equation のとき安定となる．これは Hurwitz の方法で求めたものと一致する． $♢$

この技法は Hurwitz の方法に比べて，極めて迂遠のようであるが，自動制御理論では，フィードバック系の安定判別に用いられ，極めて有用である．

例102

テンプレート:制御と振動の数学/equation の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．

解答例

$p (i ω) = i ω + a_{1}, (ω \in 𝐑)$ を実部 $x$ と虚部 $y$ とにわける．

{\begin{matrix} x & = a_{1} \\ y & = ω \end{matrix}

$x$ は定数だから軌跡 $Γ_{1}$ は $y$ に平行．
$a_{1} < 0$ ならば， $r (Γ_{1}, 0)$ は時計回りに回転し，その値は $- \frac{1}{2}$ で不安定．
$a_{1} > 0$ ならば， $r (Γ_{1}, 0)$ は反時計回りに回転し，その値は $+ \frac{1}{2}$ で $n = 1$ より安定．
これは Hurwitz の定理による結果に符合する．

$♢$

例103

テンプレート:制御と振動の数学/equation の場合の安定判別を，上例にならって行い，Hurwitz の方法による結果と比較せよ．

解答例

$p (i ω) = - ω^{2} + a_{1}, (ω \in 𝐑)$ を実部 $x$ と虚部 $y$ とにわける．

{\begin{matrix} x & = a_{2} - ω^{2} \\ y & = a_{1} ω \end{matrix}

…①

①から $ω$ を消去すると， $y^{2} = - a_{1}^{2} x + a_{1}^{2} a_{2}$ …②
②のグラフの形は $y = x^{2}$ を 90°反時計回りに回転させたもので、頂点の座標は $(a_{2}, 0)$ ．
②が原点 $(0, 0)$ を「取り込む」必要があるから， $a_{2} > 0$
①の軌跡が $y$ の $- \infty$ から $+ \infty$ まで動けば，原点の周りを反時計回りに 1 回転して $n = 2$ より安定，すなわち $a_{1} > 0$
条件 $a_{1} > 0, a_{2} > 0$ は Hurwitz の定理とも一致する．

$♢$

↑ 自分自身と交わらない閉曲線のことである．
↑
$a r g p (s) = a r g a_{0} + \sum_{i = 1}^{n} a r g (s - α_{i})$
の両辺を $\int d θ$ とすると，
$\int_{p (C)} d a r g {p (s) - 0} = \sum_{i = 1}^{n} \int_{C} d a r g (s - α_{i})$
すなわち
$r (Γ, 0; p) = \sum_{i = 1}^{n} r (C, α_{i})$
↑ $ω : - \infty \to \infty$ にて $a_{3} < 0$ なら回転数は $- \frac{1}{2}$ ， $a_{3} > 0$ なら $+ \frac{1}{2}$ ，いずれにしても $n = 3$ であるのだから原点の周りの回転数は $\frac{3}{2}$ にならなければ安定でないが，そうではない．
↑ 原点を時計回りに周る軌跡であるため， $r (Γ_{1}, 0)$ は負の値となる．

[1] 自分自身と交わらない閉曲線のことである．

[2] 
$a r g p (s) = a r g a_{0} + \sum_{i = 1}^{n} a r g (s - α_{i})$
の両辺を $\int d θ$ とすると，
$\int_{p (C)} d a r g {p (s) - 0} = \sum_{i = 1}^{n} \int_{C} d a r g (s - α_{i})$
すなわち
$r (Γ, 0; p) = \sum_{i = 1}^{n} r (C, α_{i})$

[3] $ω : - \infty \to \infty$ にて $a_{3} < 0$ なら回転数は $- \frac{1}{2}$ ， $a_{3} > 0$ なら $+ \frac{1}{2}$ ，いずれにしても $n = 3$ であるのだから原点の周りの回転数は $\frac{3}{2}$ にならなければ安定でないが，そうではない．

[4] 原点を時計回りに周る軌跡であるため， $r (Γ_{1}, 0)$ は負の値となる．

[1]

[2]

[3]

[4]

制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別

ナビゲーション メニュー

検索

ナビゲーションメニュー