位相空間論/導入

解析学において、収束や連続という概念が重要であるが、これらの概念はかなり実数の公理系に依存している。しかし、これらの概念は非常に有用なので、実数とは違う集合に対しても同様にこの概念を考えたい、ということで位相空間の理論が始まった。

位相空間は「開集合」というもので定義される。実数において連続という概念は ε-δ 論法で定義されるが、実はこの開集合という概念で連続を定義できる。まず、開集合の定義と ε-δ 論法での連続の定義を確認する。

定義 （開集合の定義）

集合 $U⫅ℝ$ が開集合であるとは、$\mathrm{\forall }u\in U\mathrm{\exists }\epsilon >0(|x-u|<\epsilon \Rightarrow x\in U)$ が成り立つことをいう。

定義 （連続の定義）

関数 $f:ℝ\to ℝ$ が $a$ で連続であるとは、

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon )$ が成り立つことをいう。

$ℝ$ の全ての点で連続のとき、$ℝ$ で連続、または単に連続であるという。

このとき、次の命題が成り立つ。

命題

関数 $f:ℝ\to ℝ$ が連続

$⟺$ 任意の開集合 $U$ について、$f^{-1}(U)$ が開集合

証明

（$\Rightarrow$）

$x_0\in f^{-1}(U)$ として、$y_0=f(x_0)$ とおく。$y_0\in U$ なので、開集合の定義より、$\mathrm{\exists }\epsilon >0\mathrm{\forall }y(|y-y_0|<\epsilon \Rightarrow y\in U)\cdots (1)$が成り立つ。

さて、ここで $f$ が連続であるという仮定から、この $\epsilon$ に対して、$\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon )\cdots (2)$

(1), (2) より、$\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x(|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)\in U).\cdots (3)$

$f^{-1}(U)=\{x\in ℝ|f(x)\in U\}$ であり、$f(x)\in U⟺x\in f^{-1}(U)$ より、(3) から$\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x(|x-x_0|<\delta \Rightarrow x\in f^{-1}(U))$

ところで、$x_0$ の取り方は任意だったので、つまり $f^{-1}(U)$ は開集合である。

（$\Leftarrow$）

$a,\epsilon >0$ を任意に取る。$U=\{y\in ℝ||y-f(a)|<\epsilon \}$ は開集合なので、仮定より $f^{-1}(U)$ も開集合である。

$f^{-1}(U)=\{x\in ℝ|f(x)\in U\}=\{x\in ℝ||f(x)-f(a)|<\epsilon \}$ であるから、つまりこの $\epsilon$ に対して

$\mathrm{\exists }\delta >0(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon ).$ すなわち $f$ は連続である。 q.e.d.