伝熱/伝導

熱伝導

熱伝導方程式

フーリエの法則を用いて3次元で熱平衡を行うことにより、系内の特定の点における温度をその点のデカルト座標と経過時間に関連付ける以下の方程式を導出できます:

$k\left(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}\right)=\rho \cdot C_p\cdot \frac{\partial T}{\partial t}$

この導出では、熱発生がないこと（これはx、y、z、tの関数であり、存在する場合は追加する必要がある）と、材料特性が時間や温度によって変化しないこと（この場合、微分に組み込む必要がある）を仮定しています。

定常熱伝導

フーリエの法則のどの項も時間に依存しない場合、定常熱伝導となります。したがって、以下の式が得られます:

$k\left(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}\right)=0$

平面壁

壁を通る熱伝達は、温度が壁面の一方からの距離の関数となる一次元伝導問題です。壁の残りの表面は一定温度であると仮定されます。壁面からの熱伝達は周囲の空気による対流によって行われ、その結果、表面は定常状態の温度$T_1$と$T_2$になります。温度$T_1$側の壁の流体が$T_{1,\mathrm{\infty }}$で熱伝達係数が$h_1$、温度$T_2$側の壁の流体が$T_{2,\mathrm{\infty }}$で熱伝達係数が$h_2$、そして$T_{1,\mathrm{\infty }}\ge T_{2,\mathrm{\infty }}$であると仮定しましょう。この仮定は$h_1\ge h_2$を意味します。壁は熱エネルギーを蓄えないため、高温側の表面からの熱はすべて低温側の表面に伝導されます。エネルギー保存則により、

${\mathrm{\nabla }}^{2}T=0$

これは熱を発生も蓄積もしない物体に対して成り立ちます。なぜなら、このような場合、温度は時間ではなく位置のみによって変化するからです。これを壁面に垂直な方向をx軸とする1次元の場合に適用すると、以下の式が得られます。

$-k\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=0$

適切な境界条件（x=0で$T=T_1$、x=sで$T=T_2$）を適用して解くと、壁厚$s$内での線形的なTの変化が得られます。

$T(x)=(T_2-T_1)\frac{x}{s}+T_1$

この方程式から、壁内の温度プロファイルが表面からの距離に対して線形的に変化することが明らかです。温度変化がわかったので、フーリエの法則から伝導率を計算できます。

$q_s{\text{'}}^{\prime }=-k\frac{dT}{dx}=\frac{k}{s}(T_1-T_2)$

上記の方程式から、熱流束がxに依存せず一定であることがわかります。この例は、伝導問題を解く標準的な方法を示しています。まず、エネルギー保存の方程式を用いて物体内の温度プロファイルを見つけ、その温度方程式をフーリエの法則に代入して熱流束を解きます。

一般的に、炉を建設するには、非常に低い導電率を持ち、高温に耐えられる材料が望ましいです。 実際には、高温材料は比較的高い熱伝導率を持つことがわかっています。 そのため、炉は異なる材料の複数の層から構築されます。 各材料の熱分解温度を使用して、熱損失が最小になるように最適な厚さを見つけることができます。 各材料がその熱分解温度で熱を受け取り、隣接する材料の熱分解温度で熱を放出するようにすべきであることは容易に理解できます。

中空円筒

平面壁と同じ仮定を用いますが、今回は無限に長い中空円筒を通る熱伝達を分析します。円筒の内径はR₁、外径はR₂です。内部温度がT₁で一定、外部温度がT₂で一定という仮定のもと、ラプラス方程式はまだ成り立ちます：

${\mathrm{\nabla }}^{2}T=0$

しかし今回は円筒形の幾何学的形状なので、ラプラシアンを以下のような円筒座標系で展開するのが最も理にかなっています：

${\mathrm{\nabla }}^{2}T=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}.$

円筒が無限に長く対称的であるため、zとθに関する偏微分はゼロになり、方程式は以下のように簡略化されます：

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)=-q/k$

熱発生がある場合、上記の方程式が有効です。熱発生がない場合、qはゼロになります。 この方程式を境界条件T(R₁) = T₁とT(R₂)=T₂で解くと、以下の結果が得られます：

$T(r)=\frac{T_2-T_1}{\ln \frac{R_2}{R_1}}(\ln (r)-\ln (R_1))+T_1$

これを伝導に関するフーリエの法則に代入すると、以下の式が得られます：

$Q^{″}=\frac{-k(T_2-T_1)}{r\ln \frac{R_2}{R_1}}=\frac{k(T_1-T_2)}{r\ln \frac{R_2}{R_1}}=\frac{2k(T_1-T_2)}{\varphi \ln \frac{{\varphi }_2}{{\varphi }_1}}$

平板の場合とは異なり、円筒の場合、熱流束は半径に依存しないわけではないことに注意してください。これは例えば円筒形の熱交換器を設計する際に重要な意味を持ちます。

次に、これを単位長さあたりの熱流束で表現し、無限に長くない円筒の近似としてこれをどのように使用するかを見てみましょう。円筒の断面積は$A=2\pi rL$なので：

$Q^{\prime }=\frac{Q}{L}=\frac{2\pi k(T_1-T_2)}{\ln \frac{R_2}{R_1}}=\frac{2\pi k(T_1-T_2)}{\ln \frac{{\varphi }_2}{{\varphi }_1}}$

したがって、単位長さあたりの熱伝達量は半径の対数と密接に関連しています。

多層伝導と電気-熱アナロジー

しばしば、伝導は単一の平面壁や単一の円筒を通してではなく、複数の平面層や同軸円筒を通して行われます。例えば、現代の住宅の壁は断熱性を高めるために複数の層で構成されています：内側から外側に向かって以下のような層構造が見られます：

1. 内部塗装
2. プラスター
3. レンガ（例：ポロサーム型）
4. 断熱材（ポリスチレンなど）
5. 中空スペース（空気は良好な断熱材）
6. 再びレンガ、プラスター、塗装

このように8層あり、方程式

$-k\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=0$

の解はより複雑になります。なぜなら、より多くの境界条件を満たす必要があるからです。この問題を解決するための簡略化された方法は電気-熱アナロジーです：平面壁と中空円筒の$Q$の表現を観察すると、それらが以下のように書けることがわかります：

$Q=G\mathrm{\Delta }T=\frac{\mathrm{\Delta }T}{R}$

ここで$G$（または$R$、好みに応じて）は幾何学的形状に依存し、導電率$k$を含みます。この式はオームの法則に類似しています：

$I=\frac{\mathrm{\Delta }V}{R}$

したがって、伝導の熱問題は熱抵抗（または熱コンダクタンス、$G=1/R$を好む場合）でモデル化できます：各熱抵抗はその端子で異なる温度に保たれるオブジェクトであり、それを通して熱が流れます；同様に、電気抵抗に電圧差を加えると、電流が流れます。このアナロジーは、多層問題を直列に接続された抵抗のスキームとしてモデル化できるため有用です。実際、電気抵抗AがBと直列に接続されている場合、Aの終端ノードはBの開始ノードと同じ電圧になります；熱抵抗A（壁の一層）が熱抵抗B（他の層）と直列（隣接）に接続されている場合、共通のノード（界面）に熱勾配はありません。 i番目の平面壁に対して：

$R_i=\frac{s_i}{k_i{A}_i}$

ここで$A$は壁の面積です。したがって、以下の式が得られます：

$Q=\frac{T_{ext}-T_{int}}{\sum _{i=1}^n{R}_i}$

同軸中空円筒（例：断熱パイプ）の場合、同じ式を使用できますが、抵抗は以下のように与えられます：

$R=\frac{\ln \frac{{\varphi }_2}{{\varphi }_1}}{2\pi kL}$

有限差分法

有限差分法は微分項を代数式で推定することで微分方程式を解こうとする方法です。この方法は、（デカルト座標系で）長方形、（円筒座標系で）円筒、または（球座標系で）球に分解できる単純な幾何学的形状に最も適しています。それ以外の場合は、有限要素法を使用する必要があります。有限差分法が使用できる場合、有限要素法よりも実装がかなり容易ですが、精度は若干犠牲になります。

一次微分の最も単純な推定は、

$\frac{\partial x}{\partial y}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}$

この近似を使用することによって引き起こされる誤差は、おおよそ${\mathrm{\Delta }y}^2$に比例することが示せます。

二次導関数を推定するには、一次導関数の導関数として扱い、上記の近似を2回連続して適用します：

$\frac{{\partial }^{2}x}{{\partial y}^2}=\frac{(\frac{\partial x}{\partial y}{)}_2-(\frac{\partial x}{\partial y}{)}_1}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{(\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}{)}_2-(\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}{)}_1}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{x_3-2x_2+x_1}{{\mathrm{\Delta }y}^2}$

二次導関数を推定するには3点が必要であるのに対し、一次導関数を推定するには2点だけが必要であることは明らかです。この特定の方法も$\mathrm{\Delta }y$について2次のオーダーであることが示せます。

非定常伝導

非定常伝導の問題では、フーリエの完全な方程式を解く必要があります

$k{\mathrm{\nabla }}^{2}T=\rho \cdot C_p\cdot \frac{\partial T}{\partial t}$

この方程式の解は定常状態の方程式よりも難しいですが、単純なケースでは可能です。それ以外では、数値解法を使用する必要があります。

平面壁

太陽が地球を温めるのは、放射熱伝達の例です。太陽は、太陽と地球の間の空間を温めることなく地球を温めます。

有限差分法

有限差分法は、不規則な形状の物体に対して使用されます。