ガロア理論/Galoisの基本定理

命題 ( Galoisの基本定理 )

$K/F$ を有限次 Galois 拡大、$G$ をその Galois 群とする。$G$ の部分群 $H$ に対して

$\mathrm{\Phi }(H)=\{\alpha \in K|{\alpha }^{\sigma }=\alpha (\mathrm{\forall }\sigma \in H)\}$

は $K/F$ の中間体であり、また $K/F$ の中間体 $E$ に対して、

$\mathrm{\Gamma }(E)=G(K/E)=\{\sigma \in G|{\alpha }^{\sigma }=\alpha (\mathrm{\forall }\alpha \in E)\}$

は $G$ の部分群であって，関係

$\mathrm{\Gamma }(\mathrm{\Phi }(H))=H,\mathrm{\Phi }(\mathrm{\Gamma }(E))=E$

が成り立つ。それゆえ、$K/F$ の中間体 $E$ と $G$ の部分群 $H$との間には、互いに他の逆である 1 対 1 の対応

$H\to \mathrm{\Phi }(H),E\to \mathrm{\Gamma }(E)$

が存在する。