ガロア理論/準備

体とは

定義 (体)

集合 $K$ と写像 $+:K\times K\to K,\cdot :K\times K\to K$ について、$+(a,b)=a+b,\cdot (a,b)=ab$ と書くことにする。このとき、$(K,+,\cdot )$ が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。

1. 結合法則 : 任意の $a,b,c\in K$ に対して $(a+b)+c=a+(b+c).$
2. 単位元の存在 : $0\in K$ が存在して、任意の $a\in K$ に対して $a+0=0+a=a.$ この 0 という元を加法の単位元という。
3. 逆元の存在 : 加法の単位元 $0$ に対して、任意の $a\in K$ に対して $a^{\prime }\in K$ が存在して $a+a^{\prime }=a^{\prime }+a=0.$
4. 交換法則 : 任意の $a,b\in K$ に対して $a+b=b+a$
5. 結合法則 : 任意の $a,b,c\in K$ に対して $(ab)c=a(bc).$
6. 単位元の存在 : $1\in K$ が存在して、任意の $a\in K$ に対して $a1=1a=a.$ この 1 という元を加法の単位元という。
7. 逆元の存在 : 加法の単位元 $1$ に対して、任意の $0\ne a\in K$ に対して、 $a^{\prime }\in K$ が存在して $a{a}^{\prime }=a^{\prime }a=1.$ ただし、$0$ は加法の単位元である。
8. 交換法則 : 任意の $a,b\in K$ に対して $ab=ba.$
9. 結合法則 : 任意の $a,b,c\in K$ に対して $a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc.$
10. $0\ne 1.$

基本的には「$(K,+,\cdot )$ は体である」というより、演算を省略して「$K$ は体である」ということが多い。

例

• $\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ は、自然な加法と乗法について体となる。
• $\mathbb{Z}$ は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。
• 有限体 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

命題 1

体 $K$ の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。

証明

体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。群論参照。

命題 2

体 $K$ の元 $x$ の加法の逆元はただひとつ存在する。$x\ne 0$ なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。

証明

体 $K$ は加法に関して、またその部分集合 $K^{\ast }:=K\setminus \{0\}$ は乗法に関してそれぞれ群を成すので、一般論より成り立つ。 群論参照。

このことから、加法の逆元を $-x$、乗法の逆元 $x^{-1}$ などと書く。

準同型

定義

体 $K,F$ の間の準同型 $f:K\to F$ とは、以下を満たす写像である。

• 任意の $a,b\in K$ に対して $f(a+b)=f(a)+f(b).$
• 任意の $a,b\in K$ に対して $f(ab)=f(a)f(b).$
• $f(1)=1.$

簡単に分かる性質として以下を挙げる。

• $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ より、$f(0)=0.$
• $f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0$ より $f(-x)=-f(x).$
• $x\ne 0$ のとき、$1=f(1)=f(x{x}^{-1})=f(x)f(x^{-1})$ より $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}.$

命題 3

体の準同型 $f:K\to F$ は単射である。

証明

$x\ne 0$のとき、乗法の逆元$x^{-1}$が存在し、$f(x)f(x^{-1})=1$なので、$f(x)\ne 0$である。 よって、$x\ne y$のとき、$x-y\ne 0$なので、$f(x-y)\ne 0$、すなわち$f(x)\ne f(y)$である。 すなわち、fは単射である。$◻$

定義

体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。

体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。

命題 4

体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。

証明

練習問題。

体の拡大

定義

体 $K$ とその部分集合 $F$ について、$K$ の演算 $+,\cdot :K\times K\to K$ を $F\times F$ 上に制限したときの行き先が必ず $F$ に入り、かつ、その制限写像によって $F$ が体になるとき、$F$ は $K$ の部分体である、$K/F$ は体の拡大である、という。

このとき包含写像が準同型になることに注意。

体の準同型 $f:K\to F$ があるとき、$K,f(K)$ が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。

例

• $ℂ/ℝ,ℝ/\mathbb{Q}$ は体の拡大である。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})/\mathbb{Q}$ は体の拡大。ただし、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})=\{a+b\sqrt{-2}\in ℂ|a,b\in \mathbb{Q}\}.$

体上の準同型

定義

$K/F,K^{\prime }/F$ を体の拡大とする。$f:K\to K^{\prime }$ が体 $F$ 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ $F$ 上では恒等写像であることをいう。

自己同型群

定義

$K/F$ を体の拡大とする。$K/F$ の自己同型とは、$F$ 上の同型写像 $f:K\to K$ のことをいう。自己同型全体の集合 $\mathrm{Aut}(K/F)$ には、写像の合成を積とする群構造が入る。これを自己同型群という。

その他の定義

定義

体の拡大 $K/F$ について、$L$ がその中間体であるとは、$K/L,L/F$ が体の拡大になっていることをいう。

命題 5

体の拡大 $K/F$ および中間体 $L_i(i\in I)$ について、$L=\bigcap _{i\in I}{L}_i$ は中間体である。

証明

体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。群論参照。

命題 6

体の拡大 $K/F$ および集合 $S\subseteq K$ について、$S$ を含むような $K/F$ の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。

証明

$\{L_i{\}}_i$ を $S$ を含むような $K/F$ の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。

定義

命題 6 で存在が保証される体を $F(S)$ と書く。特に $S=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$ が有限集合である場合、$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ とも書く。

命題 7

体の拡大 $K/F$ および集合 $S\subseteq K$ について、$F(S)=\{\alpha \in K:f(X_1,\cdots ,X_n)\in F(X_1,\cdots ,X_n),{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in S$ が存在して $\alpha =f({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\}.$
ただし、$F(X_1,\cdots ,X_n)$ は $F$ 上の $n$ 変数有理関数体であり、その元は $F$ 係数多項式 $f,g(\ne 0)\in F[X]$ で $f/g$ と表せるもの全体からなる。

証明

命題の主張にある集合 $L$ が体であることを確認する（省略）。そうすると、明らかに $S\subseteq L$ であり、$S$ を含む中間体である。逆に、そのような任意の中間体は $L$ を含む。

命題 8

体の拡大 $K=F(S)/F,L/F$ と体 $F$ 上の準同型 $f,f^{\prime }:K\to L$ について、$f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )(\mathrm{\forall }\alpha \in S)$ であるならば $f=f^{\prime }$ である。

証明

命題7 より。詳細は読者に委ねる。