ガロア理論/単拡大

定義(単拡大)

体の拡大 $K/F$ が単拡大(単純拡大)であるとは、$K=F(\alpha )$ となる $\alpha$ が存在することを言う。

定理 1 (原始元定理)

体の有限次拡大 $K/F$ に対して以下は同値。

(i) 中間体が有限個である
(ii) 単拡大である

証明

(i) ⇒ (ii):
$F$ が有限体の場合は ガロア理論/有限体 を参照のこと。
$K=F(\alpha ,\beta )$, $F$ が無限体、のときを示せば十分。$\theta (a)=\alpha +\beta a$ とおいて、$K=F(\theta (x))$ となる $x\in F$ を探す。$\{\theta (a):a\in F-\{0\}\}$ は無限集合であるが、$\{F(\theta (a)):a\in F-\{0\}\}$ は仮定より有限集合。したがって $F(\theta (a))=F(\theta (b))$ となる相異なる $a,b\in F-\{0\}$ が取れる。
$\frac{\theta (a)-\theta (b)}{a-b}=\beta ,\frac{\theta (a)b-\theta (b)a}{b-a}=\alpha$ であるので、$F(\theta (a))=F(\theta (a),\theta (b))\subseteq F(\alpha ,\beta )=K$ となり $K=F(\theta (a)).$

(ii) ⇒ (i):
$K=F(\alpha )$ として、$f(X)\in F[X]$ を $\alpha$ の $F$ 上の最小多項式とする。$K/F$ の中間体 $M$ について、$g(X)\in M[X]$ を $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式とする。$g(X)$ の係数 $a_1,\cdots ,a_n$ について、$M=F(a_1,\cdots ,a_n)$ となることを示そう。
$M^{\prime }=F(a_1,\cdots ,a_n)$ として、$h(X)$ を $\alpha$ の $M^{\prime }$ 上の最小多項式とする。明らかに $g(X)\in M^{\prime }[X]$ なので、$g(X)$ は $h(X)$ で割り切れる。また、$h(X)\in M^{\prime }[X]\subseteq M[X]$ より、$h(X)$ は $g(X)$ で割り切れる。つまり、$g(X)=h(X)$ であり、$[K:M]=[K:M^{\prime }]$ なので $M=M^{\prime }.$
したがって、$K/F$ の中間体は $g(X)$ で決まることがわかったのだが、$g(X)$ は $K[X]$ 内で $f(X)$ を割り切るので、中間体が有限個であることが示された。

命題 2

有限次分離拡大は単拡大である。

証明

$K/F$ を有限次分離拡大とする。$M\ne F,K$ を中間体として、$H=\mathrm{Aut}(K/M)$ を $M$ 上の $K$ の自己同型のなす群として、$N=K^H=\{x\in K:\mathrm{\forall }\sigma \in H(\sigma (x)=x)\}$ とおく。このとき明らかに $M\subseteq N$ である。

$K/M$ は有限次分離拡大であり、拡大次数についての帰納法によって $K=M(\alpha )$ とすれば、${\alpha }^{\prime }$ を $\alpha$ の共役元として、$K=M(\alpha )\to M({\alpha }^{\prime })=K,\alpha \mapsto {\alpha }^{\prime }$ という自己同型がある(ガロア理論/分離拡大参照)ので、$H\ne 1_K$ である。したがって、$K\ne N$ である。

さて、$H\ne \{1\}$ は有限群 $G=\mathrm{Aut}(K/F)$ の部分群であり、そのような全ての $H$ に対して $K^H$ を考える。すると、$K/F$ の真の中間体は、ある部分群 $H$ について $K^H/F$ の部分体であり、そのようなものは帰納法の仮定により有限個である。したがって、部分群 $H$ は高々有限個しかないから、$K/F$ の中間体は有限個である。

よって原始元定理によって示された。