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- さて、<math>a, b</math> は互いに素なので、[[初等整数論/整除性#定理 1.9|定理 1.9]] から、任意の数を <math>ax + by = k</math> という形に表せる。<math>x, y</ …b \{ at - (y'-y'') \} = a(x'-x'')</math> となるので、<math>(a,b) = 1</math> から、[[初等整数論/整除性#公倍数・公約数|定理 1.6]] より <math>at - (y'-y'')</math> は <math>a</math> の倍数だと分か …18キロバイト (1,597 語) - 2022年7月7日 (木) 00:12
- これは <math>k_n</math> をユークリッドの互除法の逐次商とみたときに[[初等整数論/算術の基本定理#一次不定方程式|一次不定方程式]]の係数の漸化式と同じである。 [[Category:初等整数論|れんふんすう]] …8キロバイト (1,017 語) - 2022年7月7日 (木) 00:13
- [[Category:初等整数論|せいしよせい]] …12キロバイト (851 語) - 2024年7月12日 (金) 15:33
- さて、多項式に関して[[初等整数論/整除性|整数の場合]]と同じように整除性について組み立てることができる。 などである。これらは簡単に示すことができる。ここでは[[初等整数論/公理#乗法の公理|乗法の公理 5]] を多項式でも満たすことを示す。 …27キロバイト (2,635 語) - 2022年7月6日 (水) 23:56
- ここで、<math>(a, n) = 1</math> なので[[初等整数論/整除性#定理 1.6|定理 1.6]] より <math>b-c \, | \, n \iff b \equiv c \ \ \pmod{p}</ma (viii) [[初等整数論/ユークリッドの互除法#定理 1.8|定理 1.8]] から、このような <math>k</math> が存在し、 <math>n</math> を法と …24キロバイト (1,982 語) - 2022年7月7日 (木) 00:03
- [[Category:初等整数論|せんけいかいきすうれつ]] …5キロバイト (370 語) - 2022年7月6日 (水) 23:55
- [[Category:初等整数論|こうり]] …3キロバイト (236 語) - 2022年7月7日 (木) 00:15
- <math>(n, n+1) = 1</math> である。なぜなら、仮に <math>(n, n+1) = g > 1</math> ならば、[[初等整数論/整除性#定理 1.1|定理 1.1]] より <math>g \, | \, (n+1) - n \iff g \, | \, 1</math> とな [[Category:初等整数論|そすう]] …7キロバイト (246 語) - 2022年7月6日 (水) 23:50
- [[Category:初等整数論|すうれつ]] …9キロバイト (736 語) - 2023年2月22日 (水) 17:36
- なお、一次不定方程式は、[[初等整数論/算術の基本定理]]でその解法が載っている。変数がいくらに増えても、数学的帰納法によって解については証明が可能だし、変数が2つの場合から順番にやっていく [[Category:初等整数論|ふていほうていしき]] …8キロバイト (607 語) - 2022年7月7日 (木) 00:14
- …くと <math>\zeta^m=\cos \frac{2km\pi}{n}+i\sin \frac{2km\pi}{n}</math> だから [[初等整数論/整除性#定理1.6'|定理 1.6']] より <math>\zeta^m=1 \iff n | km \iff n/\gcd (k, n) | m< …1)]=X^m-1</math> となり (v) から <math>P(x)</math> は定数でなければならないから (iii) が導かれる。[[初等整数論/因数分解の一意性|因数分解の一意性]]より (ii)(iii) （<math>d=\gcd (m, n)</math> とする）から (iv) が直ち …13キロバイト (1,406 語) - 2022年7月7日 (木) 00:01
- <math>r</math> を <math>p</math> の原始根とする。[[初等整数論/原始根と指数#定理 2.3.4|定理 2.3.4]] から <math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> が解を持つのと <m [[初等整数論/原始根と指数#定理 2.3.4|定理 2.3.4]] より 、これは …12キロバイト (1,186 語) - 2022年7月7日 (木) 00:10
- [[初等整数論/線形回帰数列|線形回帰数列]] で述べたように、数列 <math>a_n (n=0, 1, \ldots)</math> について、 特に、[[初等整数論/線形回帰数列|線形回帰数列]]でも例にあげたフィボナッチ数のように、 …14キロバイト (1,749 語) - 2022年7月7日 (木) 00:09
- …たがって、位数の法則によって <math>f \, | \, ex</math> となる。<math>(e, f) = 1</math> だから、[[初等整数論/整除性#定理 1.6|定理 1.6]] によって <math>f \, | \, x</math> となる。同様にして、<math>(ab)^{xf} <math>{\rm lcm}(e, f) = l</math> とおくと、[[初等整数論/整除性#定理 1.5|定理 1.5]] より、<math>dl = ef \iff l = \frac{ef}{d} = e'f'</math> とお …17キロバイト (1,503 語) - 2025年3月11日 (火) 09:47
- たとえば等差数列は1次式によってあらわされる数列といえる。また、与えられた整数 <math>m</math> について [[初等整数論/パスカルの三角形#多角数|m角数]] を順に並べた数列は、 [[初等整数論/パスカルの三角形#多角数|m角数]] について以前触れたが、より一般に高次元の図形と関係づけられる整数列が存在する。 …5キロバイト (455 語) - 2023年2月22日 (水) 17:36
- …>(B, R) = G'</math> とおけば、[[初等整数論/多項式]]の定理 4 より <math>G' = GE</math>と表せる。 [[初等整数論/多項式]]の定理 ii から <math>|G'| \geqq |G| \cdots (1).</math> [[Category:初等整数論|いんすうふんかいのいちいせい]] …9キロバイト (672 語) - 2022年7月6日 (水) 23:59
- <math>(a, p) = 1</math> ならば、[[初等整数論/整除性#定理 1.6|定理 1.6]] より、<math>p \, | \, b</math> より、定理は正しい。 <math>(a, p) = 1</math> ならば、[[初等整数論/ユークリッドの互除法#定理 1.9|定理 1.9]] より、<math>ax + py = 1 \cdots (1)</math> なる <math> …9キロバイト (767 語) - 2022年7月6日 (水) 23:51
- …math>g</math> は <math>b, r</math> の公約数。<math>\gcd(b, r) = g'</math> とすると、[[初等整数論/整除性#定理 1.4|定理 1.4]] より、<math>g' = ge</math> となる。よって <math>g' \geqq g. \cdot …<math>g'</math> の倍数。したがって、<math>g'</math> は <math>a, b</math> の公約数。したがって[[初等整数論/整除性#定理 1.5|定理 1.5]] より <math>g = g'e'</math> となる。すなわち <math>g' \leqq g.</ma …11キロバイト (959 語) - 2022年7月6日 (水) 23:48
- [[Category:初等整数論|はすかるのさんかくけい]] …19キロバイト (1,657 語) - 2024年5月11日 (土) 21:58
- この定理は単純な定理であるが、とても強力である。この定理を用いれば、[[初等整数論/合同式|合同式]]について、はじめにあげた問題は次のように解くことができる。 …a^i (i=0, 1, \ldots, e-1)</math> はどの2つも <math>p</math> を法として互いに非合同である。よって[[初等整数論/合同式#合同多項式の基本定理|合同多項式の基本定理]]から <math>a^i (i=0, 1, \ldots, e-1)</math> がこの合同方 …19キロバイト (1,595 語) - 2022年7月7日 (木) 00:04
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- 以前に解説した[[初等整数論/算術の基本定理#定理 1.13|算術の基本定理の証明]]は間接的なものであった（ただし、代数体の整数論にも拡張しうる点で重要である）。実は算術の基本定 素因数分解が存在することは[[初等整数論/素数#定理 1.10|定理 1.10]]で既に触れた。したがって、今すべきことは2通り以上に素因数分解される数が存在しないことを証明することとなる。 …3キロバイト (251 語) - 2022年7月6日 (水) 23:51
- [[初等整数論/フェルマーの小定理|フェルマーの小定理]]によれば <math>p</math> が素数で <math>a</math> が <math>p</mat 一方、[[初等整数論/フェルマーの小定理#ウィルソンの定理|ウィルソンの定理]]は <math>N</math> が素数であることの必要十分条件を与えているが、階乗を計算す …7キロバイト (414 語) - 2022年7月7日 (木) 00:08
- <math>r</math> を <math>p</math> の原始根とする。[[初等整数論/原始根と指数#定理 2.3.4|定理 2.3.4]] から <math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> が解を持つのと <m [[初等整数論/原始根と指数#定理 2.3.4|定理 2.3.4]] より 、これは …12キロバイト (1,186 語) - 2022年7月7日 (木) 00:10
- たとえば等差数列は1次式によってあらわされる数列といえる。また、与えられた整数 <math>m</math> について [[初等整数論/パスカルの三角形#多角数|m角数]] を順に並べた数列は、 [[初等整数論/パスカルの三角形#多角数|m角数]] について以前触れたが、より一般に高次元の図形と関係づけられる整数列が存在する。 …5キロバイト (455 語) - 2023年2月22日 (水) 17:36
- ここで、[[初等整数論/不定方程式#ピタゴラス数|初等整数論/不定方程式]]でも論じたピタゴラスの方程式 …h> を同時に割り切るようなものは <math>\pm 1, \pm \sqrt{-1}</math> 以外に存在しないことが確かめられる。ここで[[初等整数論/算術の基本定理#定理 1.15'|整数のとき]]と同じように …6キロバイト (305 語) - 2022年11月20日 (日) 11:14
- <math>(a, p) = 1</math> ならば、[[初等整数論/整除性#定理 1.6|定理 1.6]] より、<math>p \, | \, b</math> より、定理は正しい。 <math>(a, p) = 1</math> ならば、[[初等整数論/ユークリッドの互除法#定理 1.9|定理 1.9]] より、<math>ax + py = 1 \cdots (1)</math> なる <math> …9キロバイト (767 語) - 2022年7月6日 (水) 23:51
- …くと <math>\zeta^m=\cos \frac{2km\pi}{n}+i\sin \frac{2km\pi}{n}</math> だから [[初等整数論/整除性#定理1.6'|定理 1.6']] より <math>\zeta^m=1 \iff n | km \iff n/\gcd (k, n) | m< …1)]=X^m-1</math> となり (v) から <math>P(x)</math> は定数でなければならないから (iii) が導かれる。[[初等整数論/因数分解の一意性|因数分解の一意性]]より (ii)(iii) （<math>d=\gcd (m, n)</math> とする）から (iv) が直ち …13キロバイト (1,406 語) - 2022年7月7日 (木) 00:01
- [[初等整数論/フェルマーの小定理]] で、フェルマーの小定理を用いて、素数を法とする剰余類の構造を調べたので、次に、一般の自然数を法とする合同式について考えたい。ま <math>(m_1, m_2) = 1</math> より、一次不定方程式に関する[[初等整数論/ユークリッドの互除法#定理 1.9|定理 1.9]] より <math>m_1u + m_2v = 1</math> と表せる。このとき、 …13キロバイト (1,276 語) - 2022年7月7日 (木) 00:06
- …たがって、位数の法則によって <math>f \, | \, ex</math> となる。<math>(e, f) = 1</math> だから、[[初等整数論/整除性#定理 1.6|定理 1.6]] によって <math>f \, | \, x</math> となる。同様にして、<math>(ab)^{xf} <math>{\rm lcm}(e, f) = l</math> とおくと、[[初等整数論/整除性#定理 1.5|定理 1.5]] より、<math>dl = ef \iff l = \frac{ef}{d} = e'f'</math> とお …17キロバイト (1,503 語) - 2025年3月11日 (火) 09:47
- <math>(n, n+1) = 1</math> である。なぜなら、仮に <math>(n, n+1) = g > 1</math> ならば、[[初等整数論/整除性#定理 1.1|定理 1.1]] より <math>g \, | \, (n+1) - n \iff g \, | \, 1</math> とな [[Category:初等整数論|そすう]] …7キロバイト (246 語) - 2022年7月6日 (水) 23:50
- これは <math>k_n</math> をユークリッドの互除法の逐次商とみたときに[[初等整数論/算術の基本定理#一次不定方程式|一次不定方程式]]の係数の漸化式と同じである。 [[Category:初等整数論|れんふんすう]] …8キロバイト (1,017 語) - 2022年7月7日 (木) 00:13
- …>(B, R) = G'</math> とおけば、[[初等整数論/多項式]]の定理 4 より <math>G' = GE</math>と表せる。 [[初等整数論/多項式]]の定理 ii から <math>|G'| \geqq |G| \cdots (1).</math> [[Category:初等整数論|いんすうふんかいのいちいせい]] …9キロバイト (672 語) - 2022年7月6日 (水) 23:59
- この定理は単純な定理であるが、とても強力である。この定理を用いれば、[[初等整数論/合同式|合同式]]について、はじめにあげた問題は次のように解くことができる。 …a^i (i=0, 1, \ldots, e-1)</math> はどの2つも <math>p</math> を法として互いに非合同である。よって[[初等整数論/合同式#合同多項式の基本定理|合同多項式の基本定理]]から <math>a^i (i=0, 1, \ldots, e-1)</math> がこの合同方 …19キロバイト (1,595 語) - 2022年7月7日 (木) 00:04
- [[初等整数論/ルーカス数列|ルーカス数列]]に関する基本的な関係式の証明をここで行う。 [[Category:初等整数論|るうかすすうれつ きほんてきなかんけいしきのしようめい]] …13キロバイト (2,182 語) - 2017年1月8日 (日) 07:16
- さて、<math>a, b</math> は互いに素なので、[[初等整数論/整除性#定理 1.9|定理 1.9]] から、任意の数を <math>ax + by = k</math> という形に表せる。<math>x, y</ …b \{ at - (y'-y'') \} = a(x'-x'')</math> となるので、<math>(a,b) = 1</math> から、[[初等整数論/整除性#公倍数・公約数|定理 1.6]] より <math>at - (y'-y'')</math> は <math>a</math> の倍数だと分か …18キロバイト (1,597 語) - 2022年7月7日 (木) 00:12
- [[初等整数論/線形回帰数列|線形回帰数列]] で述べたように、数列 <math>a_n (n=0, 1, \ldots)</math> について、 特に、[[初等整数論/線形回帰数列|線形回帰数列]]でも例にあげたフィボナッチ数のように、 …14キロバイト (1,749 語) - 2022年7月7日 (木) 00:09
- [[Category:初等整数論|こうり]] …3キロバイト (236 語) - 2022年7月7日 (木) 00:15
- 定理 2.5.3 と[[初等整数論/合成数を法とする合同式#中国の剰余定理|中国の剰余定理]]から、一般の整数 <math>n</math> を法とする場合の結果がすぐに導かれる。 [[Category:初等整数論|こうせいすうをほうとするしようよるいのこうそう]] …9キロバイト (892 語) - 2022年7月7日 (木) 00:06
- <math>ax \equiv b \pmod{m}</math> より、 <math>ax + my = b</math> とおける。[[初等整数論/ユークリッドの互除法#定理 1.9|定理 1.9]] より、解が存在する。解のうちの一つを <math>(x, y) = (x_0, y_0)</ma [[Category:初等整数論|こうとうのおうよう]] …8キロバイト (884 語) - 2022年7月7日 (木) 00:07
- …math>g</math> は <math>b, r</math> の公約数。<math>\gcd(b, r) = g'</math> とすると、[[初等整数論/整除性#定理 1.4|定理 1.4]] より、<math>g' = ge</math> となる。よって <math>g' \geqq g. \cdot …<math>g'</math> の倍数。したがって、<math>g'</math> は <math>a, b</math> の公約数。したがって[[初等整数論/整除性#定理 1.5|定理 1.5]] より <math>g = g'e'</math> となる。すなわち <math>g' \leqq g.</ma …11キロバイト (959 語) - 2022年7月6日 (水) 23:48