特殊相対論 時間の遅れ

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時間の遅れ

ある点(0,0)から速度vで動きだした粒子は 静止している観測者から見て (ct,vt)となる時刻において、 自分自身から見た座標系では、 $\gamma \left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\ vt\end{array}\right)$ $=\gamma t\left(\begin{array}{c}c-\beta v\\ -c\beta +v\end{array}\right)$ $=\gamma t\left(\begin{array}{c}c-\beta v\\ 0\end{array}\right)$ となる。最後の計算で

$\beta =v/c$

を用いた。 ここで、粒子と一緒に動いている観測者から見て 粒子の位置座標が0であることは、 粒子と一緒に動く観測者に取って 粒子は動いていないように見えることに対応している。 粒子と共に運動する観測者に取っての時間経過は

$\gamma t(c-\beta v)=\gamma t(c-v^2/c)$

$=\gamma ct(1-v^2/c^2)$

$=ct\sqrt{1-{\beta }^2}$

$<ct$

= (静止している観測者から見た場合の粒子の時間)

となる。よって、 粒子と一緒に動く観測者に取って出発してから経過した時間が、 静止している観測者に取っての 時間よりもゆっくりと経過していることを示している。 これは直観的には、粒子がある速度で動いている分だけ、時間の方向に 運動していく速度が遅くなったものとみなすことが出来る。