制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/指数位の関数

さて一般に，$ℒ[f(t)]$ が存在するための十分条件は，導入章にも言及しておいたように， $f(t)$ が次の関係を満たすことである．すなわち $t$ が十分大きいところで， テンプレート:制御と振動の数学/equation となることである．このとき $f(t)$ を指数 $\alpha$ 位の関数ということは前にも述べた． $\alpha$ を特に意識する必要のないときは，$\alpha$ を省略して呼ぶことにする．

例93$$

$f(t)$ が指数位の関数であるとき，$\mathrm{R}\mathrm{e}f(t)$ も $\mathrm{I}\mathrm{m}f(t)$ も指数位の関数であることを示せ．

解答例

$f(t)=g(t)+ih(t),g(t)$ と $h(t)$ は実数を定義域とした実数値関数とすると，

$|f(t)|=\sqrt{\{g(t){\}}^2+\{h(t){\}}^2}\leqq M{e}^{\alpha t}$

$\therefore \frac{1}{e^{\alpha t}}\sqrt{\{g(t){\}}^2+\{h(t){\}}^2}\leqq M$

$\sqrt{{\left\{\frac{g(t)}{e^{\alpha t}}\right\}}^2+{\left\{\frac{h(t)}{e^{\alpha t}}\right\}}^2}\leqq M$

この式が成立するためには $\left\{\frac{g(t)}{e^{\alpha t}}\right\}$ と $\left\{\frac{h(t)}{e^{\alpha t}}\right\}$ の両方が有限の値に収束しなければならない．
すなわち，$g(t)=\mathrm{R}\mathrm{e}f(t)$ と $h(t)=\mathrm{I}\mathrm{m}f(t)$ の両方が指数位である必要がある．

$\mathrm{♢}$

$f(t)$ が指数位 $\alpha$ の関数であるとき，$\mathrm{R}\mathrm{e}s>\alpha$ に対して， テンプレート:制御と振動の数学/equation が存在することは明らかである．事実， テンプレート:制御と振動の数学/equation で，$\sigma >\alpha$ のとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，複素数値関数の基本的性質Ⅴから $ℒ[f]$ の存在が保証されるのである．

例94$$

$t^n{e}^{\alpha t}(\alpha \in 𝐂)$ は任意の $n$ に対して指数位の関数である．

事実， テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，$\beta >\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha ,t>0$ のとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation したがって $t^n{e}^{\alpha t}$ の Laplace 変換が存在する． テンプレート:制御と振動の数学/equation であるから，$\mathrm{R}\mathrm{e}s>\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha$ ならば，$T\to \mathrm{\infty }$ のとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation これを逐次繰り返すことによって， テンプレート:制御と振動の数学/equation を得る．

$\mathrm{♢}$

補題 4.2$$ $f(t)$ が指数位の関数ならば $\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau$ もそうである．

証明

複素数値積分の基本的性質Ⅳと式 (4.10) により，$t>0$ のとき， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに，$M_1:=\frac{M}{\alpha }$ である．

$\mathrm{♢}$