制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合

↑ $x (t_{0}) = 0$
↑ $F (t) = e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u (τ) d τ$ で， $\frac{d F}{d t}$ を $a$ から $b$ まで積分すると，
$I (a, b) = \int_{a}^{b} \frac{d F}{d t} d t = F (b) - F (a)$
ここで， $F (t_{0}) = e^{- (1 + K) t_{0}} \int_{t_{0}}^{t = t_{0}} u (τ) d τ = 0$ より，
$I (t_{0}, t) = F (t) - F (t_{0}) = F (t) = e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u (τ) d τ$ ．

例73

$u (t) : = {x (t)}^{2} + {x^{'} (t)}^{2}$ とおいてももちろん証明はできる．試みよ．

解答例

$♢$

例74

例と同様にして， $n$ 階の微分方程式テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation の場合の解の一意性を証明せよ．

解答例

与方程式の解が一意であることを示すために，

x^{(n)} + a_{1} x^{(n - 1)} + a_{2} x^{(n - 2)} + \dots + a_{n - 1} x^{'} + a_{n} x = 0

…①

x (t_{0}) = x^{'} (t_{0}) = x^{″} (t_{0}) = \dots = x^{(n - 1)} (t_{0}) = 0

の解が $x (t) \equiv 0$ に限ることを示す．
①について， $u (t) = | x | + | x^{'} | + | x^{″} | + \dots + | x^{(n - 1)} |$ とおく．
$x (t_{0}) = x^{'} (t_{0}) = x^{″} (t_{0}) = \dots = 0$ であるから，

x (t) = \int_{t_{0}}^{t} x^{'} d t + x (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t} x^{'} d t (∵ x (t_{0}) = 0)

∴ | x (t) | ≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{'} | d t

同様に，

| x^{'} (t) | ≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{″} | d t

| x^{″} (t) | ≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{‴} | d t

\dots

| x^{(n - 2)} | ≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{(n - 1)} | d t

…以上の式を②

また，

| x^{(n - 1)} | ≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{(n)} | d t = \int_{t_{0}}^{t} | (- a_{1} x^{(n - 1)} - a_{2} x^{(n - 2)} - \dots - a_{n - 1} x^{'} - a_{n} x) | d t

≦ \int_{t_{0}}^{t} {a_{1} | x^{(n - 1)} | + a_{2} | x^{(n - 2)} | + \dots a_{n - 1} | x^{'} | + a_{n} | x |} d t

…③

今， $K = m a x (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n - 1}, a_{n})$ とすると，②③より

| x | + | x^{'} | + | x^{″} | + \dots + | x^{(n - 1)} | ≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{'} | d t + \int_{t_{0}}^{t} | x^{″} | d t + \int_{t_{0}}^{t} | x^{‴} | d t + \dots + \int_{t_{0}}^{t} | x^{(n)} | d t

≦ \int_{t_{0}}^{t} | x^{'} | d t + \int_{t_{0}}^{t} | x^{″} | d t + \int_{t_{0}}^{t} | x^{‴} | d t + \dots + \int_{t_{0}}^{t} | x^{(n - 1)} | d t + K \int_{t_{0}}^{t} {| x^{(n - 1)} | + | x^{(n - 2)} | + \dots + | x^{'} | + | x |} d t

≦ (K + 1) \int_{t_{0}}^{t} {| x^{(n - 1)} | + | x^{(n - 2)} | + \dots + | x^{'} | + | x |} d t

すなわち， $u ≦ (K + 1) \int_{t_{0}}^{t} u d t$ …④
両辺に $e^{- (1 + K) t} > 0$ を掛けて，
$u e^{- (1 + K) t} ≦ e^{- (1 + K) t} (1 + K) \int_{t_{0}}^{t} u d t$
$∴ u e^{- (1 + K) t} - (1 + K) e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u d t ≦ 0$
$∴ \frac{d}{d t} {e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u d t} ≦ 0$
両辺を $t_{0}$ から $t$ まで積分すると，
$e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u d t ≦ 0$
$∴ \int_{t_{0}}^{t} u d t ≦ 0$ …⑤
$u$ は明らかに， $u = | x | + | x^{'} | + | x^{″} | + \dots + | x^{(n - 1)} | ≧ 0$ …⑥
④⑤⑥より
$0 ≦ u ≦ \int_{t_{0}}^{t} u d t ≦ 0$
$∴ u = 0$ ．
$∴ x = 0$ ．

$♢$

[1] $x (t_{0}) = 0$

[2] $F (t) = e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u (τ) d τ$ で， $\frac{d F}{d t}$ を $a$ から $b$ まで積分すると，
$I (a, b) = \int_{a}^{b} \frac{d F}{d t} d t = F (b) - F (a)$
ここで， $F (t_{0}) = e^{- (1 + K) t_{0}} \int_{t_{0}}^{t = t_{0}} u (τ) d τ = 0$ より，
$I (t_{0}, t) = F (t) - F (t_{0}) = F (t) = e^{- (1 + K) t} \int_{t_{0}}^{t} u (τ) d τ$ ．

[1]

[2]

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