制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味

さて，これまでの議論は前座であり，ここからが本論となる．

前章で述べた Laplace 変換による解法を顧みて，果たして正しい解が得られているのか否かを吟味しよう． 取り扱う対象は定数係数の線形微分方程式， テンプレート:制御と振動の数学/equation および, テンプレート:制御と振動の数学/equation であり，いずれも初期値， テンプレート:制御と振動の数学/equation を満たす解を求めることが問題であるとする．解法の手順は次の通りであった．

式(3.1) を初期値，式(3.3)の下に Laplace 変換すれば， テンプレート:制御と振動の数学/equation である．これを $ℒ[x]$ について解けば， テンプレート:制御と振動の数学/equation ここに， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．同様に式(3.2)，(3.3)を Laplace 変換し $ℒ[x]$ を求めると， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる．そこで， テンプレート:制御と振動の数学/equation テンプレート:制御と振動の数学/equation とすると，式(3.1)，(3.3)の解は， テンプレート:制御と振動の数学/equation 式(3.2)，(3.3)の解は， テンプレート:制御と振動の数学/equation となる，ということであった．ここに $*$ は合成積を表す．

これだけの議論で果たして式(3.7)，(3.8)が (3.1)，(3.3)； (3.2)，(3.3)の解であると結論することができるであろうか． それを吟味することが，この章の目的である．

吟味の詳細に入る前に，これまでで得られた結果をまとめておこう．

定理3.1$$ 式(3.1)，(3.3) あるいは 式(3.3)，(3.3) の解の Laplace 変換 $ℒ[x]$ に対して次の事実が成り立つ．

(Ⅰ) 分母は初期値に無関係に，微分方程式の形だけで決まる．

(Ⅱ) 分子は初期値によって決まる．しかも $ℒ[x]$ の分子多項式 テンプレート:制御と振動の数学/equation は初期値 $({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,\cdots {\xi }_n)$ と 1:1 に対応する．

以上より，異なる初期値には異なる $ℒ[x]$ が対応する． $\mathrm{♢}$

さらに吟味を続ける．上の解法の手順を要約すると，

• 《作業 1》 解 $x(t)$ が存在すると仮定して，$X(s)=ℒ[x(t)]$ を計算する．
• 《作業 2》 求まった $X(s)$ に対して $X(s)=ℒ[\tilde{x}(t)]$ となる $\tilde{x}(t)$ を見つける．
• 《作業 3》 $\tilde{x}(t)$ が解である．

となる．この推論は正しいのであろうか．このようにまとめられると，誰しも不安を感ぜざるを得ないであろう．この不安を取り除く方法は，

• (1) $\tilde{x}(t)$ が解であることを直接確かめる

のが一番の良策である．さらに，

• (2) $\tilde{x}(t)$ 以外に解がない

ことが確かめられたらさらによい．その上，

• (3) $t_0\ne 0$ で初期値が与えられたときの解の見つけ方

を知っておくことも必要である．

この章では，線形定常常微分方程式論からの若干の話題を準備しながら，これらの問題の解決を与えることにしよう．

---

• 微分作用素と特性方程式
• 線形性と重ね合わせの原理
• 特性多項式の構造と解の性質
• 解法の正しさの証明
• 線形定常性
• $t_0\ne 0$ で初期値が与えられている場合
• 初期値問題の解の一意性
• 微分不等式と比較定理
• 解の構造と一般解