特殊相対論 速度の合成則

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速度の合成則

ある速度$v_1$を持つ物体1から見たときに ある速度$v_2$を持つ物体2を 、静止している観測者から見たときの 速度を計算する。 (Newton力学では $v_1+v_2$となることに注意。)

ローレンツ群の性質から $v_1$を使った変換と $v_1$を使った変換を合わせて使うことで、 静止した観測者から見た場合の物体2の速度が 求まることを用いると、

${\gamma }_1\left(\begin{array}{cc}1& {\beta }_1\\ {\beta }_1& 1\end{array}\right)\times {\gamma }_2\left(\begin{array}{cc}1& {\beta }_2\\ {\beta }_2& 1\end{array}\right)={\gamma }_3\left(\begin{array}{cc}1& {\beta }_3\\ {\beta }_3& 1\end{array}\right)$ となることが分かる。 左辺の1行1列成分を計算すると、 $={\gamma }_1{\gamma }_2(1+{\beta }_1{\beta }_2)$ となることがわかる。 右辺の1行1列成分と見くらべると、 ${\gamma }_1{\gamma }_2(1+{\beta }_1{\beta }_2)={\gamma }_3$ が得られる。 両辺を2乗すると、 $\frac{1}{1-v_3^2/c^2}=\frac{1}{1-v_1^2/c^2}\frac{1}{1-v_2^2/c^2}(1+v_1{v}_2/c^2{)}^2$ 両辺の逆数を取ると、 $1-v_3^2/c^2=(1-v_1^2/c^2)(1-v_2^2/c^2)\frac{1}{(1+v_1{v}_2/c^2{)}^2}$ よって、 $\begin{array}{c}(v_3/c{)}^2=1-\frac{1}{(1+v_1{v}_2/c^2{)}^2}(1-v_1^2/c^2)(1-v_2^2/c^2)\\ =\frac{1}{(1+v_1{v}_2/c^2{)}^2}((1+v_1{v}_2/c^2{)}^2-(1-v_1^2/c^2)(1-v_2^2/c^2))\\ =\frac{1}{(1+v_1{v}_2/c^2{)}^2}(2v_1{v}_2/c^2-(-v_1^2/c^2-v_2^2/c^2))\\ =\frac{1}{(1+v_1{v}_2/c^2{)}^2}(v_1/c+v_2/c{)}^2\end{array}$

これらから $v_3/c=\frac{(v_1/c+v_2/c)}{1+v_1{v}_2/c^2}$ が得られる。 ここで$v_2=c$とおくと、 $v_3/c=\frac{(v_1/c+1)}{1+v_1/c}$ つまり、 $v_3=c$ が得られる。 これは、ある速さ$v_1$を持った観測者1が、観測者1から見て 光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは 光速cより速くなることは無いということを示している。