特殊相対論 4元運動量

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4元運動量

解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が 示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの 保存則が導き出される。 そのため、 $x^{\mu }=\left(\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)$ のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、 $p^{\mu }=\left(\begin{array}{c}ϵ/c\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right)$ によって、4元ベクトルを作ることが出来る。 ここで、 $ϵ$ はエネルギーである。 この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。 ある静止した物体については $\overrightarrow{p}=0$ が成り立つので、 $p^{\mu }=\left(\begin{array}{c}ϵ/c\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ となる。 このときの $ϵ$ の値を、ある質量mをもつ物体に対して、 mc と置く。 $ϵ/c=mc$ つまり, $ϵ=m{c}^2$ に注意。 (エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように 選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることに よっているものと思われる。) このとき、 $ϵ$と $|\overrightarrow{p}|$ の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから $p^{\mu }{p}_{\mu }={ϵ}^2/c^2-{\overrightarrow{p}}^2=m^2{c}^2$ となる。 よって、 $ϵ=c\sqrt{|\overrightarrow{p}{|}^2+m^2{c}^2}$ が得られる。 ${\overrightarrow{p}}^2$ が小さいとしてテイラー展開を行なうと、 $ϵ=m{c}^2+\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}+O({\overrightarrow{p}}^4)$ が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式 $ϵ=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}$ と、定数$m{c}^2$を除いて一致する。 定数$m{c}^2$を静止エネルギーと呼ぶことがある。