特殊相対論 運動方程式

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運動方程式

SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。 そのため、ある3次元のベクトルを取ったとき それと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを 作ることが出来る。 $d{s}^2$がスカラーであることから $x^{\mu }=\left(\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)$ のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。 さらに、 固有時間 $d{s}^2=d{t}^2\sqrt{1-(v/c{)}^2}$ を導入すると、この量はスカラーになる。

このとき、 運動方程式は、 ある力$f^{\mu }$を想定すると、 (note: 多くの場合電磁気力を想定している。) $\frac{d{p}^{\mu }}{ds}=f^{\mu }$ と書かれる。 これは、運動方程式が ローレンツ変換に対してよい性質を もっていなくてはいけないという 要請から来ている。 ニュートンの方程式 $\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{f}$ も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、 上の式はそれの拡張と考えることが出来る。