2のi乗の求め方のソースを表示

<small>[[物理数学I 解析学]] &gt; 【コーヒーブレーク】2のi乗の求め方</small>
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i乗?虚数乗なんて求められるのか?と思う方もいらっしゃるかもしれませんが、'''求められます'''。この本では2のi乗の求め方について解説します。

== はじめに ==
[https://www.google.co.jp/search?q=2%E3%81%AEi%E4%B9%97&oq=2%E3%81%AEi&aqs=chrome.0.69i59l2j69i57j69i60l3.2407j0j1&sourceid=chrome&ie=UTF-8 2のi乗をGoogleで検索してみましょう]。0.769238901 + 0.638961276iと表示されましたね。このような値はどのようにして求めるのでしょうか?

<math>2^4</math>など、指数部分が整数であれば<math>2^4=2\times2\times2\times2</math>のように、2を指数部分回掛けることで簡単に求めることができます。しかし、指数部分が虚数ではこのような定義は使えません。

そこで登場するのが[[w:オイラーの公式|オイラーの公式]]と呼ばれるものです。このオイラーの公式を次に示します:

<div style="text-align:center;font-size:3em;">
<math>e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}</math>
</div>次のセクションで、このオイラーの公式を使って2のi乗を求める方法について述べます。

== オイラーの公式を使って2のi乗を求める ==
では、オイラーの公式を使って2のi乗を求めてみましょう。オイラーの公式<math>e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}</math>を見ると、左辺の指数関数の底がeとなっています。まず<math>2^i</math>の底をeに変換することを考えます。<br/>
次のように、<math>2^x</math>が<math>e^x</math>のk倍で表されると考えましょう<nowiki>:</nowiki>
:<math>2^x = ke^x</math>
kについて式を整理すると
:<math>k = \frac{2^x}{e^x}</math>
両辺の自然対数をとって
:<math>\log_e k = \log_e \frac{2^x}{e^x}</math>
右辺を変形して
:<math>\log_e k = \log_e 2^x - \log_e e^x = x\log_e 2 - x = x(\log_e 2 - 1)</math>
kについて式を整理して
:<math>k = e^{x(\log_e2 - 1)}</math>
このようにしてkが求められました。元の式にkを代入すると
:<math>2^x = e^{x\log_e2}</math>
以上のように、<math>2^x</math>の底をeに変換できました。求めたいのは<math>2^i</math>の値ですから、この式にx=iを代入します:
:<math>2^i = e^{i\log_e2}</math>
ここでオイラーの公式を使います。オイラーの公式<math>e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}</math>で<math>x = \log_e2</math>とすると:
:<math>2^i = e^{i\log_e 2} = \cos{\log_e 2} + i\sin{\log_e2}</math>
となり、2のi乗の値が求められました!
右辺はコンピュータの電卓ソフトウェアを使うか、関数電卓等で計算してみましょう。0.769238901... + 0.638961276i...となるはずです。
この求め方は2のi乗だけでなく、任意の正の数aについて、aのi乗を求めることにも応用できます。

== 参考文献 ==
#オイラーの公式 東北大学情報通信工学科 [http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/euler/euler1.htm]
[[Category:数学|ふつりすうかくいち かいせきかく ２のiしよう]]