2のi乗の求め方

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i乗?虚数乗なんて求められるのか?と思う方もいらっしゃるかもしれませんが、求められます。この本では2のi乗の求め方について解説します。

はじめに

2のi乗をGoogleで検索してみましょう。0.769238901 + 0.638961276iと表示されましたね。このような値はどのようにして求めるのでしょうか?

$2^4$など、指数部分が整数であれば$2^4=2\times 2\times 2\times 2$のように、2を指数部分回掛けることで簡単に求めることができます。しかし、指数部分が虚数ではこのような定義は使えません。

そこで登場するのがオイラーの公式と呼ばれるものです。このオイラーの公式を次に示します:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

次のセクションで、このオイラーの公式を使って2のi乗を求める方法について述べます。

オイラーの公式を使って2のi乗を求める

では、オイラーの公式を使って2のi乗を求めてみましょう。オイラーの公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$を見ると、左辺の指数関数の底がeとなっています。まず$2^i$の底をeに変換することを考えます。
次のように、$2^x$が$e^x$のk倍で表されると考えましょう:

$2^x=k{e}^x$

kについて式を整理すると

$k=\frac{2^x}{e^x}$

両辺の自然対数をとって

${\log }_{e}k={\log }_e\frac{2^x}{e^x}$

右辺を変形して

${\log }_{e}k={\log }_e{2}^x-{\log }_e{e}^x=x{\log }_{e}2-x=x({\log }_{e}2-1)$

kについて式を整理して

$k=e^{x({\log }_{e}2-1)}$

このようにしてkが求められました。元の式にkを代入すると

$2^x=e^{x{\log }_{e}2}$

以上のように、$2^x$の底をeに変換できました。求めたいのは$2^i$の値ですから、この式にx=iを代入します:

$2^i=e^{i{\log }_{e}2}$

ここでオイラーの公式を使います。オイラーの公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$で$x={\log }_{e}2$とすると:

$2^i=e^{i{\log }_{e}2}=\cos {\log }_{e}2+i\sin {\log }_{e}2$

となり、2のi乗の値が求められました! 右辺はコンピュータの電卓ソフトウェアを使うか、関数電卓等で計算してみましょう。0.769238901... + 0.638961276i...となるはずです。 この求め方は2のi乗だけでなく、任意の正の数aについて、aのi乗を求めることにも応用できます。

参考文献

1. オイラーの公式 東北大学情報通信工学科 [1]