高等学校理数数学のソースを表示

[[高等学校数学]]＞高等学校理数数学

== 科目概要 ==
高等学校理数科で扱われている科目。
理数数学I、理数数学II、理数数学特論の三科目に分かれる。（理数数学I、IIが必修科目）

高等学校普通科数学の単元を履修順を入れ替えて再構成し、発展事項を追加した上で学ぶ。（なお、普通科であっても進学校ならば扱う発展事項も含む。）

{| class="wikitable"  style="width:100%"
|+ 学習指導要領における性格づけ<ref>[https://www.mext.go.jp/content/20230217-mxt_kyoiku02-100002620_05.pdf 高等学校学習指導要領（平成30年度告示）解説 理数編 -文部科学省]</ref>
! style="width:15%; text-align:center" | 科目とその性格
! style="width:40%; text-align:center"| 含まれる単元とその内容（括弧内は対応する普通科数学の単元）
! style="width:45%; text-align:center"| 備考など
|-
|'''理数数学I'''
:事象を数学的に考察し表現する基礎的な能力を養い、知識や技能などを的確に活用する態度を育てることをねらいとし、中学校数学の学習内容を踏まえつつ「理数数学II」及び「理数数学特論」の履修への基礎を築くものである。
|
#数と式（[[高等学校数学I/数と式|数学I「数と式」]]）
#*数と集合
#**簡単な無理数の計算
#**集合と命題
#*式
#**式の展開と因数分解
#**一次不等式
#図形と計量（[[高等学校数学A/図形の性質|数学A「図形の性質」]]、[[高等学校数学I/図形と計量|数学I「図形と計量」]]）
#*平面図形
#**三角形の性質
#**円の性質
#**作図
#*空間図形
#**直線と平面の位置関係
#**多面体
#*三角比
#**鋭角の三角比
#**鈍角の三角比
#**正弦定理・余弦定理
#*図形の計量
#**三角形の面積
#**内心と面積の関係
#二次関数（[[高等学校数学I/二次関数|数学I「二次関数」]]、[[高等学校数学III/極限#分数関数と無理関数|数学III「極限」内「分数関数・無理関数」]]）
#*二次関数とそのグラフ
#**関数の表記f(x)
#**二次関数
#**二次関数のグラフと平行移動・対称移動
#*二次関数の値の変化
#**二次関数の最大・最小
#**二次関数と二次方程式
#*二次不等式
#*分数関数・無理関数
#指数関数・対数関数（[[高等学校数学II/指数関数・対数関数|数学II「指数関数・対数関数」]]）
#*指数関数
#**指数の拡張
#**指数関数
#*対数関数
#**対数
#**対数関数
#**常用対数
#データの分析（[[高等学校数学I/データの分析|数学I「データの分析」]]、[[高等学校数学B/数学と社会生活#回帰分析|数学B「数学と社会生活」内「回帰分析」]]）
#*データの散らばり
#**分散、標準偏差
#*データの相関
#**散布図、相関係数
#*仮説検定の考え方
#*回帰分析
#**線形回帰
#**最小二乗法
#**回帰式
#**対数目盛り
#場合の数と確率（[[高等学校数学A/場合の数と確率|数学A「場合の数と確率」]]）
#*場合の数
#**集合の要素の個数
#**数え上げの原則
#**順列・組合せ
#*確率
#**確率とその基本的な法則
#***余事象、排反、期待値
#**独立な試行と確率
#**条件付き確率
#**期待値
|(普通科数学にない発展・拡充事項の例)
:「数と式」において、真理値表を用いて「<Math>p \implies q</Math>」の否定が「<Math>p \cap \overline{q}</Math>」であることを扱う。
:「図形と計量」において、三角形の垂心・傍心<ref group="注釈" name="普通科">普通科の進学校でも扱う</ref>、ヘロンの公式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>を扱う。
:「二次関数」において、二次不等式の解析的解法と代数的解法を比較しそれぞれの利点を理解することを扱う他、「理数物理」と関連した内容（電気抵抗の並列接続、単振子など）も触れる。
:「指数関数・対数関数」において、「理数化学」と関連した内容（水素イオン指数）に触れる。
:「場合の数と確率」において、3つ以上の集合の交わり<ref group="注釈">3つの集合までは普通科の進学校でも扱う</ref>や重複組合せ<ref group="注釈" name="普通科"></ref>を扱う。
|-
|'''理数数学II'''
:事象を数学的に考察し表現する能力を伸ばし、知識及び技能などを積極的に活用する態度を育てることをねらいとし、「理数数学I」の基礎の上に立って、理数に関する学科の特色が生かされるようにしている。
:この科目は複数年次にわたって履修することが考えられるが、その場合は学習の系統性に留意して指導計画の作成にあたることが大切である。
|
#いろいろな式（[[高等学校数学II/式と証明・高次方程式|数学II「いろいろな式」]]）
#*式
#**多項式の乗法・除法、分数式
#**二項定理
#*等式と不等式の証明
#*高次方程式など
#**複素数と二次方程式
#**高次方程式
#数列（[[高等学校数学B/数列|数学B「数列」]]）
#*数列とその和
#**等差数列と等比数列  
#**いろいろな数列
#*漸化式と数学的帰納法
#**漸化式と数列 
#**数学的帰納法
#三角関数と複素数平面（[[高等学校数学II/三角関数|数学II「三角関数」]]、[[高等学校数学III/複素数平面|数学C「平面上の曲線と複素数平面」内「複素数平面」]]）
#*角の拡張
#*三角関数
#**三角関数
#**三角関数の基本的な性質
#*三角関数の加法定理 
#**2倍角の公式、三角関数の合成
#**和↔︎積の公式
#*複素数平面
#**複素数平面
#**ド・モアブルの定理
#図形と方程式（[[高等学校数学II/図形と方程式|数学II「図形と方程式」]]、[[高等学校数学C/平面上の曲線|数学C「平面上の曲線と複素数平面」内「平面上の曲線」]]）
#*直線と円
#**点と直線
#**円の方程式
#*軌跡と領域
#**軌跡と方程式
#**不等式の表す領域
#*平面上の曲線
#**二次曲線   (直交座標による表示)
#**媒介変数による表示
#**極座標による表示
# 極限（[[高等学校数学III/極限|数学III「極限」]]）
#*数列の極限
#**数列{<math>{r^n}</math>} の極限
#**無限等比級数の和
#*関数とその極限
#**合成関数と逆関数
#**関数の値の極限
#**関数の連続性
#微分法（[[高等学校数学II/微分・積分の考え|数学II「微分・積分の考え」内「微分の考え」]]、[[高等学校数学III/微分法|数学III「微分法」]]）
#*導関数
#**微分係数と導関数
#**関数の和・差・積・商の導関数
#**合成関数・逆関数の導関数
#**三角関数・指数関数・対数関数の導関数
#*導関数の応用
#**接線、関数の値の増減、極大・極小、グラフの凹凸、速度・加速度
#積分法（[[高等学校数学II/微分・積分の考え|数学II「微分・積分の考え」内「積分の考え」]]、[[高等学校数学III/積分法|数学III「積分法」]]）
#*不定積分と定積分
#**積分とその基本的な性質・置換積分法・部分積分法
#*いろいろな関数の積分
#*積分の応用
#**面積、体積、曲線の長さ
#統計的な推測（[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測|数学B「統計的な推測」]]）
#*確率分布
#**確率変数と確率分布
#**確率変数の平均、分散、標準偏差
#**二項分布
#**正規分布
#*統計的な推測
#**母集団と標本
#**区間推定・仮説検定
|(普通科数学にない発展・拡充事項の例)
:「いろいろな式」において、三次関数における解と係数の関係<ref group="注釈" name="普通科"></ref>について扱う。
:「数列」において、隣接三項間漸化式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>や分数漸化式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>など、様々なタイプの漸化式を扱う。
:「三角関数と複素数平面」において、和↔︎積の公式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>を扱う他、「理数物理」に関連した内容（音の合成など）に触れたり複素関数（一次関数・分数関数に限る）について扱う。
:「図形と方程式」において、2円の共有点の座標や共通接線、共有点を通る曲線等<ref group="注釈" name="普通科"></ref>について扱う他、「理数物理」に関連した内容（二次曲線における反射の法則など）について触れる。
:「極限」において、無限級数で定義される関数（<Math>y = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{x^2+1})^n</Math>など）について扱う。
:「微分法」において、一次と二次の近似式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>を扱う他、逆三角関数や双曲線関数・逆双曲線関数などを扱う。
:「積分法」において、微分方程式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>や台形公式、シンプソンの公式を扱う。
:「統計的な推測」において、一様分布や<Math>\tau</Math>検定、<Math>\chi^2</Math>検定を扱う。
|-
|'''理数数学特論'''
:より広い数学の分野にわたって事象を数学的に考察し表現する能力を伸ばし、知識や技能などを積極的に活用する態度を育てることをねらいとしている。
:生徒の特性や学校の実態、単位数等に応じて内容を適宜選択して履修させる科目である。
|
#ベクトル（[[高等学校数学C/ベクトル|数学C「ベクトル」]]）
#*平面上のベクトル
#**ベクトルとその演算
#**ベクトルの内積
#*空間とベクトル
#**空間座標、空間におけるベクトル
#行列とその応用（[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#行列による表現とその演算|数学C「数学的な表現の工夫」内「行列による表現とその演算」]]、[[旧課程(-2012年度)高等学校数学C/行列#行列の応用|旧々課程数学C「行列とその応用」内「行列の応用」]]）
#*行列による表現とその演算
#**行列による表現
#**行列の和と差、実数倍
#**行列の積
#**逆行列
#*行列の応用
#**連立一次方程式
#**一次変換
#離散グラフ（[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#離散グラフによる表現|数学C「数学的な表現の工夫」内「離散グラフによる表現」]]）
#**一筆書き
#**最短経路
#**隣接行列
#**経路の数え上げと行列の累乗
#数学と生活や社会との関わり（[[高等学校数学A/数学と人間の活動|数学A「数学と人間の活動」]]、[[高等学校数学B/数学と社会生活|数学B「数学と社会生活<ref group="注釈">「回帰分析」は理数数学I「データの分析」の範囲</ref>」]]）
#*数量や図形と人間の活動
#**約数と倍数・ユークリッドの互除法・記数法
#**平面や空間における座標・2点間の距離
#*数学と文化
#**数学史
#**ゲーム・パズルの中の数学
#*数学的と社会生活
#**数学を利用した問題解決
#**社会の中の数学
|(普通科数学にない発展・拡充事項の例)
:「ベクトル」において、空間における直線の方程式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>や、平面の方程式<ref group="注釈" name="普通科"></ref>を扱う他、それらの位置関係を考察したり、交点・交線の方程式を求めることを扱う。
:「行列」において、普通科の新課程で復活しなかった「行列の応用」の内容を扱う。また、行列がベクトルの拡張であることについて触れる。
:「離散グラフ」において、完全グラフや四色問題、ラムゼーの定理などを扱う。
|}
数学C「数学的な表現方法の工夫」内「データの表現方法の工夫」（パレート図、バブルチャート等を用いたデータの表現）のみ対応する単元が存在しない。



以下、このページでは普通科数学で扱わない発展事項について記載していく。
その他普通科でも扱う内容については上の表から各自参照すること。
<!-- ↑の表に挙げた内容を（普通科数学のページとの兼ね合いも考えながら）どんどん追加していきましょう。 -->

== 理数数学I ==
=== 数と式 ===
==== 真理値表 ====
=== 図形と計量 ===
==== 球面三角法 ====
=== 二次関数 ===
=== 指数関数・対数関数 ===
=== データの分析 ===
=== 場合の数と確率 ===
==== 3つ以上の集合と要素の個数 ====

== 理数数学Ⅱ ==
=== いろいろな式 ===
==== 整式の最大公約数・最小公倍数 ====
※数の最大公約数・最小公倍数については理数数学特論及び[[高等学校数学A/数学と人間の活動#最小公倍数・最大公約数|普通科数学A]]の内容であることに留意。

整式<math>A</math>が整式<math>B</math>で割り切れるとき、<math>B</math>を<math>A</math>の'''約数'''、<math>A</math>を<math>B</math>の'''倍数'''という。<br>
2つ以上の整式の共通の約数を、それらの'''公約数'''、共通の倍数を'''公倍数'''といい、公約数のうち次数の最も高いものを'''最大公約数'''といい、公倍数のうち次数の最も低いものを'''最小公倍数'''という。<br>
（注意）普通、整式の約数、倍数では単なる数の因数を考えない。<br>
<br>
*問題例

**問題
:<math>x^3 -4x^2 +3x\ ,\ 6x^4 -15x^3 -9x^2</math>
の最大公約数と最小公倍数を求めよ。

**解答
:<math>x^3 -4x^2 +3x=x(x^2 -4x +3)=x(x-1)(x-3)</math>
:<math>6x^4 -15x^3 -9x^2=3x^2(2x^2 -5x -3)=3x^2(x-3)(2x+1)</math>
よって、最大公約数は<math>x(x-3)</math>、最小公倍数は<math>x^2(x-1)(x-3)(2x+1)</math><br>
<br>
2つの整式が、数の因数以外に共通の因数を持たないとき、これらの整式は'''互いに素'''であるという。
**例
<math>(x+1)(x-3)</math>と<math>(x+2)(x+3)</math>は互いに素である。<br>
<br>
2つの整式と、その最大公約数、最小公倍数との間の関係について考える。例えば
:<math>A=(x+1)(x+2)\ ,\ B=(x+1)(x-1)</math>
の最大公約数を<math>G</math>、最小公倍数を<math>L</math>とすると
:<math>G=x+1\ ,\ L=(x+1)(x+2)(x-1)</math>
である。
このとき、<math>A\ ,\ B</math>を<math>G</math>で割った商をそれぞれ<math>A'\ ,\ B'</math>とすると
:<math>A=GA'\ ,\ A'=x+2</math>
:<math>B=GB'\ ,\ B'=x-1</math>
となり、<math>A'\ ,\ B'</math>は互いに素である。
:<math>L=(x+1)(x+2)(x-1)=GA'B'</math>
であるから、<math>LG=GA'B'G=(GA')(GB')=AB</math>が成り立つ。

{| style="border:2px solid greenyellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:greenyellow"|'''最大公約数と最小公倍数'''
|-
|style="padding:5px"|
整式<math>A\ ,\ B</math>の最大公約数を<math>G</math>、最小公倍数を<math>L</math>とし、<math>A\ ,\ B</math>を<math>G</math>で割った商をそれぞれ<math>A'\ ,\ B'</math>とすると<br>
1<math>. \qquad A=GA'\ ,\ B=GB'</math><br>
2<math>. \qquad A'\ ,\ B'</math>は互いに素<br>
3<math>. \qquad L=GA'B'\ ,\ LG=AB</math>
|}

=== 数列 ===
==== 階比数列 ====
==== 対数漸化式 ====

=== 三角関数と複素数平面 ===
==== 複素関数 ====
<!-- w=az, w=a/zの型のみ扱う。 -->

=== 図形と方程式 ===
==== 円と円の共有点 ====
*問題例

**問題
2つの円
:<math>x^2 + y^2 =25\ ,\ x^2 + y^2 - 2x - y -15 =0</math>
の共有点の座標を求めよ。

**解答
2つの方程式から、<math>x^2 + y^2</math>を消去して
:<math>2x+y-10=0</math>……(1)
(1)を<math>x^2 + y^2 =25</math>に代入し整理すると
:<math>x^2 -8x +15=0</math>
ゆえに
:<math>x=3\ ,\ 5</math>
(1)から<br>
<math>x=3</math>のとき<math>y=4</math>、<math>x=5</math>のとき<math>y=0</math><br>
よって、求める共有点の座標は
:<math>(3\ ,\ 4)\ ,\ (5\ ,\ 0)</math>

==== 2円の共通接線の方程式 ====
==== 2円の交点を通る曲線 ====
==== 二次曲線の接線・法線 ====
==== 焦点の性質 ====
==== 楕円の反射定理 ==== 
==== 楕円の補助円 ====
==== 二次曲線の準円 ====
==== 二次曲線の回転と標準化 ====
==== 二次曲線の判別式 ====

=== 極限 ===
==== 無限級数で定義される関数 ====

=== 微分法 ===
==== 逆三角関数 ====
sin、cos、tanとその逆数csc、sec、cotの逆関数をまとめて'''逆三角関数'''という。逆三角関数を表記するとき、元の関数に接頭辞'''arc'''をつける。（「arc」は「arcus（弓）」の略。）

三角関数の逆関数をそのまま考えようとすると、一つの入力に対して複数出力されてしまうため、定義域を制限して考える。

逆三角関数の定義域はそれぞれ、
*arcsin：<math>[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]</math>
*arccos：<math>[0, \pi]</math>
*arctan：<math>[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]</math>
である。

例）<math>\sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}</math>より、定義域に注意すると<math>\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}</math> である。


各関数のグラフは右図のようになる。
[[ファイル:Mplwp inverse trigonometric functions piaxis.svg|サムネイル|右|代替文=逆三角関数のグラフ|逆三角関数のグラフ]]


 '''逆三角関数の微分'''
 
 <math>(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 <math>(\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 <math>(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}</math>

*導出
:<math>y=\arcsin x \iff x = \sin y</math>
:<math>\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \sin y </math>
:<math>1 = \frac{dy}{dx} \cos y</math>
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}</math>
:<math>\cos y = \sqrt{1- \sin^2 y} = \sqrt{1-x^2} (\because -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2})</math>
:<math>\therefore (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
arccosも同様。
:<math>y = \arctan x \iff x = \tan y</math>
:<math>\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \tan y</math>
:<math>1 = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{\cos^2 y}</math>
:<math>\frac{dy}{dx} = \cos^2 y = \frac{1}{1+\tan^2y} = \frac{1}{1+x^2}</math>

==== 双曲線関数 ====
==== 逆双曲線関数 ====

=== 積分法 ===
==== 楕円関数系の積分 ====
==== 微分方程式 ====
未知関数を含む方程式を'''関数方程式'''という。

未知関数の導関数を含む関数方程式を'''微分方程式'''といい、「微分方程式を解く」とは微分方程式を満たす全ての関数を求めることである。

(例)<math>\frac{dy}{dx}=a</math>

両辺をxについて積分すると、

<math>y=ax+C</math>(Cは任意の定数)

これがこの微分方程式の解である。


<math>y'=2x</math>のように、第一次導関数までを含む微分方程式を'''一階微分方程式'''という。<math>y''=6x</math>のように、第二次導関数までを含む微分方程式を'''二階微分方程式'''という。一般に、第n次導関数までを含む微分方程式を'''n階微分方程式'''という。<math>x=y'+3y''</math>のように、導関数の一次結合で表された微分方程式を'''線形微分方程式'''という。線形微分方程式のうち、導関数とは関係ない変数の項の値が0であるものを'''斉次微分方程式'''という。微分方程式のうち、未知関数が一つの変数で表されるものを'''常微分方程式'''という。


; '''微分方程式の解法'''

ここでは、'''変数分離形'''と呼ばれる常微分方程式のみ扱う。

*例題
微分方程式<math>y'x=y</math>を解け。
*解答
与式は<math>\frac{dy}{dx} x = y</math>と書ける。
:①<math>y=0</math>のとき
::<math>\frac{dy}{dx}=0</math>より与式が成立するので、定数関数<math>y=0</math>はこの微分方程式の解である。
:②<math>y \neq 0</math>のとき
::<math>x=0</math>は与式を満たさないので<math>x \neq 0</math>
::'''形式的に'''※変形して<math>\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}</math>（'''変数分離'''）
::両辺にインテグラルをつけて<math>\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}</math>
::<math>\therefore \log |y| = \log |x| + C</math>（C は積分定数）
::<math>\therefore |y| = e^{C} |x|</math>
::<math>y = \pm e^{C} x</math>
::<math>A = \pm e^{C}</math> とおくと、
::<math>y = A x </math>（<math>x \neq 0, A \neq 0</math>より<math>y \neq 0</math>を満たす。）
:①、②より、この微分方程式の解は<math>y = kx</math>（k は任意の実数）である。

※<math>\frac{dy}{dx}</math>で一つの記号であり<math>dx</math>と<math>dy</math>に分離する操作は本来認められていないので、「形式的に」という表現を用いた。


*問題
**以下の微分方程式を解け。
**#<math>y' = \sin x</math>
**#<math>y'' = \log x</math>
**#<math>y' = 2xy</math>
**#<math>y'' = 3x^2y</math>


<!-->ここに非線形微分方程式（2次形式の簡単なタイプ）の例題と問題<-->

一般に、微分方程式の解は任意定数を含むものとなる。このような解を'''一般解'''という。微分方程式に含まれる変数に対し何かしらの条件が与えられると、微分方程式の解に含まれる任意定数の値を定めることができる。このような条件を'''初期条件'''といい、定数の定まった解を'''特殊解'''という。

<!-->ここに特殊解を求める問題<-->


微分方程式は、[[物理学]]で広く用いられている。大学以上の物理は微分方程式を解く学問であると言っても過言ではないだろう。

例えば、等加速度直線運動は<math>\frac{d^2x}{dt^2} = a</math>（xは変位、tは時間、aは加速度）という二階線形常微分方程式で表される。
:両辺を一回積分して<math>\frac{dx}{dt} = at + C_1</math>を得る。<math>\frac{dx}{dt}</math>は時刻tにおける速度なので、積分定数<math>C_1</math>は運動を始めた時刻での速度（初速度）<math>v_0</math>を表す。
:両辺をもう一度積分して<math>x = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + C_2</math>を得る。xは変位なので、積分定数<math>C_2</math>は運動を始めた時刻での位置（初期位置）<math>x_0</math>を表す。
これで、積分結果が[[高等学校物理基礎/力学#等加速度直線運動|物理基礎]]で習った等加速度直線運動の公式に一致することを確かめられた。


[[高等学校 物理|高校物理]]の範囲で登場する公式の微分方程式表示の例を以下に示す。
*<math>\frac{d^2x}{dt^2} = -A \omega^2 \sin (\omega t)</math>（円運動・単振動）
*<math>\frac{dQ}{dt} = I</math>（電流の定義）
*<math>V = -N\frac{d \Phi}{dt}</math>（ファラデーの電磁誘導の法則）
*<math>V_L = -L\frac{dI}{dt}</math>（自己誘導）
*<math>V_M = -M\frac{dI}{dt}</math>（相互誘導）

==== 積分方程式 ====
<!-- 定数型、変数型、2元連立、被積分関数が（第３次までの）導関数の式であるもの -->

==== 台形公式 ====
==== シンプソンの公式 ====

=== 統計的な推測 ===
==== 一様分布 ====
==== <Math>{\displaystyle \tau }</Math>検定 ====
==== <Math>{\displaystyle \chi ^{2}}</Math>検定 ====

== 理数数学特論 ==
=== ベクトル ===
==== 平面の方程式 ====
1点<math>\mathrm{A}(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)</math>を通り、ベクトル<math>\vec{n} = (a\ ,\ b\ ,\ c)</math>に垂直な平面<math>\alpha</math>の方程式を考える。<br>
点<math>\mathrm{P}(x\ ,\ y\ ,\ z)</math>が平面<math>\alpha</math>上にあるための必要十分条件は
<center><math>\vec{AP} =0</math>　または　<math>\vec{AP} \perp \vec{n}</math></center>
すなわち
:<math>\vec{n} \cdot \vec{AP} =0</math>
となることである。<br>
ここで、<math>\vec{OA} = \vec{a}\ ,\ \vec{OP} = \vec{p}</math>とおくと
:<math>\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})=0</math>
となる。これは、'''平面<math>\alpha</math>のベクトル方程式'''である。<br>
ベクトルを成分で表すと、<math>\vec{p} - \vec{a}=(x-x_1\ ,\ y-y_1\ ,\ z-z_1)</math>であるから
<center><math>a \left(x-x_1 \right) + b \left(y-y_1 \right) + c \left(z-z_1 \right) =0</math></center>

{| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0
|style="background:orange"|'''平面の方程式'''
|-
|style="padding:5px"|
<math>\vec{n} = (a\ ,\ b\ ,\ c) \ne 0</math>とするとき、点<math>\mathrm{A}(x_1\ ,\ y_1 ,\ z_1)</math>を通り、ベクトル<math>\vec{n}</math>に垂直な平面の方程式は
<center><math>a \left(x-x_1 \right) + b \left(y-y_1 \right) + c \left(z-z_1 \right) =0</math></center>
|}

上の定理から、'''平面は<math>\ x\ ,\ y ,\ z\ </math>の1次方程式<math>ax+by+cz+d=0</math>で表される'''ことがわかる。<br>
平面に垂直な直線をその平面の'''法線'''といい、平面に垂直なベクトルをその平面の'''法線ベクトル'''という。


*問題例

**問題
次の平面の方程式を求めよ。<br>
(i)　点<math>\mathrm{A}(1\ ,\ 2\ ,\ 3)</math>を通り、<math>\vec{n} = (4\ ,\ 3\ ,\ -2)</math>を法線ベクトルとする平面<br>
(ii)　2点<math>\mathrm{A}(2\ ,\ 1\ ,\ 4)\ ,\ \mathrm{B}(5\ ,\ 3\ ,\ 5)</math>に対して、点<math>\mathrm{A}</math>を通り直線<math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math>を法線とする平面

**解答
(i)
:<math>4(x-1)+3(y-2)-2(z-3)=0</math>
:<math>4x+3y-2z-4=0</math>
(ii)　<math>\vec{AB} = (3\ ,\ 2\ ,\ 1)</math>であるから
:<math>3(x-2)+2(y-1)+1(z-4)=0</math>
:<math>3x+2y+z-12=0</math>


特別な平面について考えてみよう。

*問題例

**問題
次の方程式はどのような平面を表しているか。<br>
(i)
:<math>2x+y-6=0</math>
(ii)
:<math>z=-3</math>

**解答
(i)　与えられた方程式を変形すると
:<math>2(x-3)+1(y-0)+0(z-0)=0</math>
よって、'''点<math>(3\ ,\ 0\ ,\ 0)</math>を通り、ベクトル<math>(2\ ,\ 1\ ,\ 0)</math>に垂直な平面'''を表す。<br>
(ii)　与えられた方程式を変形すると
:<math>0(x-0)+0(y-0)+1(z+3)=0</math>
よって、'''点<math>(0\ ,\ 0\ ,\ -3)</math>を通り、z軸に垂直な平面（xy平面に平行な平面）'''を表す。

==== 点と平面の距離 ====
点<math>\mathrm{P}(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)</math>と平面<math>\alpha</math>　<math>ax+by+cz+d=0</math>との距離<math>h</math>を求めよう。<br>
点<math>\mathrm{P}</math>から平面<math>\alpha</math>へ下ろした垂線の足を<math>\mathrm{H}</math>とし、<math>\alpha</math>上に1点<math>\mathrm{A}(x_2\ ,\ y_2\ ,\ z_2)</math>をとる。<br>
また、<math>\alpha</math>の法線ベクトル<math>\vec{n} = (a\ ,\ b\ ,\ c)</math>と<math>\vec{AP}</math>のなす角を<math>\theta</math>とすると
:<math>h = |\vec{AP}|\ |\cos \theta| = |\vec{AP}|\ \frac{|\vec{n} \cdot \vec{AP}|}{|\vec{n}|\ |\vec{AP}|} = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{AP}|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
ここで
:<math>\vec{n} \cdot \vec{AP} = a \left(x_1 -x_2 \right) + b \left(y_1 -y_2 \right) + c \left(z_1 -z_2 \right) = ax_1 + by_1 +cz_1 - \left(ax_2 +by_2 +cz_2 \right)</math>
点<math>\mathrm{A}</math>は<math>\alpha</math>上にあるから
:<math>ax_2 +by_2 +cz_2 =-d</math>
よって
:<math>\vec{n} \cdot \vec{AP} = ax_1 + by_1 +cz_1 +d</math>

{| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0
|style="background:orange"|'''点と平面の距離'''
|-
|style="padding:5px"|
点<math>(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)</math>と平面<math>ax+by+cz+d=0</math>との距離<math>h</math>は
<center><math>h = \frac{|ax_1 + by_1 +cz_1 +d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math></center>
|}


*問題例

**問題
点<math>(-3\ ,\ 1\ ,\ 2)</math>と平面<math>2x+3y-6z+1=0</math>の距離を求めよ。

**解答

:<math>h=\frac{|2 \times (-3) + 3 \times 1 + (-6) \times 2 +1|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\frac{|-14|}{7}=2</math>

==== 直線の方程式 ====
定点<math>\mathrm{A}(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)</math>を通り、<math>\vec{0}</math>でないベクトル<math>\vec{d} = (a\ ,\ b\ ,\ c)</math>に平行な直線<math>g</math>の方程式を考える。<br>
点<math>\mathrm{P}(x\ ,\ y\ ,\ z)</math>が直線<math>g</math>上にあるための必要十分条件は、<math>\mathrm{P}</math>に対応して
<center><math>\vec{AP} = t \vec{d}</math></center>
となる実数<math>t</math>が定まることである。
:<math>\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}</math>
であるから、<math>\vec{p} = \vec{OP}\ ,\ \vec{a} = \vec{OA}</math>とおくと
:<math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>
となる。これを、'''直線<math>g</math>のベクトル方程式'''という。<br>
このベクトル方程式を成分で表すと
:<math>\vec{p} =(x\ ,\ y\ ,\ z)\ ,\ \vec{a}=(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)\ ,\ \vec{d}=(a\ ,\ b\ ,\ c)</math>
であるから
<center><math>\left(x\ ,\ y\ ,\ z \right)  = \left(x_1 +at\ ,\ y_1 +bt\ ,\ z_1 +ct \right)</math></center>
よって
<center><math>x = x_1 +at\ ,\ y = y_1 +bt\ ,\ z = z_1 +ct</math>　……(1)</center>
(1)から<math>t</math>を消去すると、次のことがいえる。

{| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0
|style="background:orange"|'''直線の方程式(1)'''
|-
|style="padding:5px"|
<math>abc \ne 0</math>であるとき、定点<math>\mathrm{A}(x_1\ ,\ y_1 ,\ z_1)</math>を通り、ベクトル<math>\vec{d} = (a\ ,\ b\ ,\ c)</math>に平行な直線の方程式は
<center><math>\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}</math></center>
|}


直線<math>g</math>に平行なベクトル<math>\vec{d} = (a\ ,\ b\ ,\ c)</math>を直線<math>g</math>の'''方向ベクトル'''という。また、(1)を直線<math>g</math>の'''媒介変数表示'''という。


*問題例

**問題
点<math>\mathrm{A} (1\ ,\ -2\ ,\ 3)</math>を通り、ベクトル<math>\vec{d} = (2\ ,\ -2\ ,\ 3)</math>に平行な直線の方程式を求めよ。

**解答
:<math>\frac{x-1}{2} = \frac{y-(-2)}{-2} = \frac{z-3}{3}</math>
　　整理して
:<math>\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{3}</math>


2点<math>\mathrm{A}(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)\ ,\ \mathrm{B}(x_2\ ,\ y_2\ ,\ z_2)</math>を通る直線は、ベクトル<math>\vec{AB}=(x_2-x_1\ ,\ y_2-y_1\ ,\ z_2-z_1)</math>に平行であるから、次のことがいえる。

{| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0
|style="background:orange"|'''直線の方程式(2)'''
|-
|style="padding:5px"|
2点<math>\mathrm{A}(x_1\ ,\ y_1\ ,\ z_1)\ ,\ \mathrm{B}(x_2\ ,\ y_2\ ,\ z_2)</math>を通る直線の方程式は
<center><math>\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}</math></center>
|}


*問題例

**問題
2点<math>\mathrm{A}(1\ ,\ 2\ ,\ 3)\ ,\ \mathrm{B}(2\ ,\ -1\ ,\ 5)</math>を通る直線の方程式を求めよ。

**解答
:<math>\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{-1-2} = \frac{z-3}{5-3}</math>
　　整理して
:<math>x-1 = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{2}</math>


特殊な直線の方程式について考えてみよう。
:<math>x = x_1 +at\ ,\ y = y_1 +bt\ ,\ z = z_1 +ct</math>　……(1)
で、<math>abc=0</math>であるときについて考える。
例えば、<math>a \ne 0\ ,\ b \ne 0\ ,\ c=0</math>であるとき
:<math>\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b}\ ,\ z = z_1</math>
となる。これはxy平面に平行な直線<math>g</math>を表している。<br>
また、<math>a \ne 0\ ,\ b=c=0</math>であるとき
:<math>y=y_1\ ,\ z = z_1</math>
となる。これはx軸に平行な直線<math>g</math>を表している。<br>


*問題例

**問題
次の方程式はどのような直線を表すか。<br>
(i)
:<math>x=2\ ,\ y-2 = \frac{z-3}{-1}</math>
(ii)
:<math>x=-1\ ,\ y=4</math>

**解答
(i)<br>
与えられた方程式から、<math>y=2</math>とおくと<math>z=3</math>となる。<br>
したがって、この直線は点<math>\mathrm{A}(2\ ,\ 2\ ,\ 3)</math>を通る。
方向ベクトルは、<math>\vec{d} = (0\ ,\ 1\ ,\ -1)</math>であるから、yz平面に平行である。<br>
よって、この方程式は'''点<math>\mathrm{A}(2\ ,\ 2\ ,\ 3)</math>を通り、<math>\vec{d} = (0\ ,\ 1\ ,\ -1)</math>に平行な直線（yz平面に平行な直線）'''を表す。<br>
(ii)<br>
この直線は2平面<math>x=-1\ ,\ y=4</math>の交線である。<br>
よって、この方程式は'''点<math>\mathrm{A}(-1\ ,\ 4\ ,\ 0)</math>を通り、z軸に平行な直線'''を表す。<br>

=== 行列とその応用 ===
==== ４次以上の正方行列における行列式 ====

=== 離散グラフ ===
==== 完全グラフ ==== 
==== 四色問題 ==== 
==== ラムゼーの定理 ====

=== 数学と生活や社会との関わり ===
==== フェルマーの小定理 ====

== 脚注 ==
{{reflist}}
<references group="注釈"/>
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