高等学校数学I 二次関数演習Aのソースを表示

この項は[[高等学校数学I 二次関数]]の演習問題Aである。
== 問題 ==
=== 問1 ===
二次関数 <math>y=2x^2</math> のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

# <math>(2,3)</math>
# <math>(-1,4)</math>
# <math>(-4,-2)</math>

[[#.E5.95.8F1_2|解答]]
=== 問2 ===
<math>x</math>の二次関数<math>y</math>のグラフが三点 <math>(2,3), (1,4), (-1,2)</math> を通るとき、<math>y</math>を<math>x</math>の式で表せ。

[[#.E5.95.8F2_2|解答]]

=== 問3 ===
四次関数 <math>y=x^4+2x^2+1</math> の最小値、最大値を（あれば）求めよ。また <math>y</math> がそれらの値を取るときの <math>x</math> の値も求めよ。

[[#.E5.95.8F3_2|解答]]

=== 問4 ===
二次関数<math>f(x)=2x^2-ax+a</math>の定義域<math> 1\leqq x \leqq 5</math>における最大値<math>M</math>と最小値<math>m</math>を求めよ。

[[#.E5.95.8F4_2|解答]]

== 解答 ==
=== 問1 ===
# <math>y=2(x-2)^2+3</math> あるいは <math>y=2x^2-8x+11</math>。
# <math>y=2(x+1)^2+4</math> あるいは <math>y=2x^2+4x+6</math>。
# <math>y=2(x+4)^2-2</math> あるいは <math>y=2x^2+16x+30</math>。
=== 問2 ===
求める式を <math>y=ax^2+bx+c</math> とおく。これらが与えられた点を通るから、
:<math>\begin{cases}
3=4a+2b+c&\cdots(1)\\
4=a+b+c&\cdots(2)\\
2=a-b+c&\cdots(3)
\end{cases}</math>
がなりたつ。
:(2) - (3) より <math>2=2b</math>。 よって、<math>b=1</math> &hellip; (4)。
:(1) - (3) より <math>1=3a+3b</math>。(4) を代入して、<math>a=-\frac{2}{3}</math>。
:(1) より <math>c=3-4\times\left(-\frac{2}{3}\right)-2=\frac{11}{3}</math>。

以上より、求める式は <math>y=-\frac{2}{3}x^2+x+\frac{11}{3} </math>。

=== 問3 ===
<math>x^2=t</math>と置くことで、<math>y</math>は<math>t</math>の二次関数となる。

:<math>
 y = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2(x^2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2
</math>

<math>t \ge 0</math>であることに注意すると、この関数は<math>t=0</math>のとき最小値1をとる。すなわち、<math>x=0</math>のとき最小値1をとる。

最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数<math>M</math>が<math>y</math>の最大値であるとする。
<math>M \ge 1</math>であるから、<math>x=\sqrt{-1+\sqrt{M+1}}</math>は実数である。そして、この<math>x</math>に対して
:<math>y=(x^2+1)^2=M+1>M</math>
である。これは<math>M</math>が最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。

=== 問4 ===
:<math>f(x)=2\left(x-\frac{a}{4}\right)^2-\frac{a^2}{8}+a</math>
であるから、グラフの軸<math>x=\frac{a}{4}</math>の位置により場合分けする。

最大値については、
:<math>\frac{a}{4}<3</math>のとき、すなわち<math>a<12</math>のとき、<math>M=f(5)=-4a+50</math>である。
:<math>\frac{a}{4} \ge 3</math>のとき、すなわち<math>a \ge 12</math>のとき、<math>M=f(1)=2</math>である。

最小値については、
:<math>\frac{a}{4}<1</math>のとき、すなわち<math>a<4</math>のとき、<math>m=f(1)=2</math>である。
:<math>1 \le \frac{a}{4} \le 5</math>のとき、すなわち<math>4 \le a \le 20</math>のとき、<math>m=f(a)=-\frac{a^2}{8}+a</math>である。
:<math>\frac{a}{4}>5</math>のとき、すなわち<math>a>20</math>のとき、<math>m=f(5)=-4a+50</math>である。

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