高等学校数学III/積分法/演習問題のソースを表示

'''第１問'''

次の不定積分を計算せよ。
 
(1) <math>\int\left({\frac{1}{3}x^3-3x^2+1}\right)dx</math> 

(2) <math>\int{\frac{x+5}{x^4+10x^3-9x^2-250x-400}}dx</math> 

(3) <math>\int{\sin{2x}\cos{3x}}dx</math> 

(4) <math>\int{\tan{x^{\circ}}}dx</math>

(5) <math>\int{\log{\sqrt{x}}}dx</math>

(6) <math>\int{\frac{x}{1+x^2}}dx</math>

(7) <math>\int{\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}}dx</math>

(8) <math>\int{x\cdot2^x}dx</math>


'''第２問'''

次の定積分を計算せよ。

(1) <math>\int_{4}^{9}{(x^2-13x+36)}dx</math>

(2) <math>\int_{0}^{1}{x^3\sqrt{4-3x^2}}dx</math>

(3) <math>\int_{1}^{4}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}dx</math>

(4) <math>\int_{0}^{2\pi}{3\cos^2{2x}}dx</math>
 

'''第３問'''  

水でいっぱいの半径<math>r</math>の球状の容器の最下端に小さな孔を開ける。水が流れ始めた時刻を<math>0</math>とし、時刻<math>0</math>から時刻<math>t</math>までにこの孔を通って流出した水の量を<math>f(t)</math>、時刻<math>t</math>における孔から水面までの高さを<math>y</math>とすれば、<math>y</math>と<math>f(t)</math>の関係は正の定数<math>a</math>を用いて<math>\cfrac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=a\sqrt{y}</math>と書けるという。


(1) 水面の降下する速さが最小となるのは、<math>y</math>がどのような値をとる時か。

(2) 水が流れ始めてから<math>y</math>が(1)で求めた値となるまでに要する時間を求めよ。  


'''第４問'''　 

ある惑星から鉛直に初速<math>v_0</math>で打ち上げられた宇宙船がある。惑星の半径を<math>R</math>、惑星表面での重力加速度を<math>g</math>とする。また、宇宙船には惑星の中心からの距離の平方に反比例する引力(比例定数<math>G</math>)が働いている。  

(1) 惑星の中心からの距離が<math>r</math>の場所に宇宙船があるとき、宇宙船の速度<math>v</math>は以下の式を満たすことを証明せよ。 

<math>v^2 = \frac{2gR^2}{r}+{v_0}^2-2gR</math> 

(2) (1)の関係式を用いて、宇宙船が再び惑星に戻ってこないようにするための初速<math>v_0</math>の条件を述べよ。

== 解答 ==
'''第１問'''
 
積分定数を''C''とする。

(1) <math>\int\left({\frac{1}{3}x^3-3x^2+1}\right)dx=\frac{1}{12}x^4-x^3+x+C</math> 

(2) <math>\int{\frac{x+5}{x^4+10x^3-9x^2-250x-400}}dx=\int{\frac{1}{(x+2)(x-5)(x+8)}}dx=\int{\frac{1}{546}\left(-\frac{13}{x+2}+\frac{6}{x-5}+\frac{7}{x+8}\right)}dx=\frac{1}{546}\left(-13\log|x+2|+6\log|x-5|+7\log|x+8|\right)+C</math> 

(3) <math>\int{\sin{2x}\cos{3x}}dx=\int{\frac{1}{2}\left(\sin{5x}-\sin{x}\right)}dx=\frac{1}{10}\left(5\cos{x}-\cos{5x}\right)+C</math>

(4) <math>\int{\tan{x^{\circ}}}dx=\int{\tan{\frac{\pi x}{180}}}dx=-\frac{180}{\pi}\log\left|\cos{\frac{\pi x}{180}}\right|+C</math>

(5) <math>\int{\log{\sqrt{x}}}dx=\int{\frac{1}{2}\log{x}}dx=\frac{1}{2}(x\log x-x)+C</math>

(6) <math>t=1+x^2</math>と置換すると<math>dt=2xdx</math>なので、

<math>\int{\frac{x}{1+x^2}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}=\frac{1}{2}\log\left|t\right|+C=\frac{1}{2}\log(1+x^2)+C</math>

(7) <math>t=x+\sqrt{1+x^2}</math>と置換すると<math>dt=\frac{t}{\sqrt{1+x^2}}dx</math>なので、

<math>\int{\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}}dx=\int{\frac{2}{t}}dt=2\log|t|+C=2\log(x+\sqrt{1+x^2})+C</math>

(8) <math>\int{x\cdot2^x}dx=\frac{x\cdot2^x}{\log{2}}-\int{\frac{2^x}{\log{2}}}dx=\frac{x\cdot2^x}{\log{2}}-\frac{2^x}{(\log{2})^2}+C=\frac{2^x(x\log{2}-1)}{(\log{2})^2}+C</math>

'''第２問'''

(1) <math>\int_{4}^{9}{(x^2-13x+36)}dx=\frac{(9-4)^3}{6}=\frac{125}{6}</math>

(2) <math>t=\sqrt{4-3x^2}</math>と置換すると<math>dt=\frac{-3x}{t}dx</math>なので、

<math>\int_{0}^{1}{x^3\sqrt{4-3x^2}}dx=\int_{1}^{2}{\frac{1}{9}(-t^4+4t^2)}dt=\frac{1}{135}[-3t^5+20t^3]_1^2=\frac{47}{135}</math>

(3) <math>t=\sqrt{1+\sqrt{x}}</math>と置換すると<math>4t(t^2-1)dt=dx</math>なので、

<math>\int_{1}^{4}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}dx=\int_\sqrt{2}^\sqrt{3} 4(t^4-t^2) dt=\frac{4}{15}[3t^5-5t^3]_\sqrt{2}^\sqrt{3}=\frac{8(6\sqrt{3}-\sqrt{2})}{15}</math>

(4) <math>\int_{0}^{2\pi}{3\cos^2{2x}}dx=\int_0^{2\pi}\frac{3}{2}(1+\cos{4x})dx=\frac{3}{8}[4x+\sin{4x}]_0^{2\pi}=3\pi</math>

'''第３問'''  

(1) 水面の高さが<math>y</math>のとき、水面は面積<math>\pi(2ry-y^2)</math>の円なので、<math>\frac{df}{dy}=\pi(y^2-2ry)</math>である。
よって、合成関数の微分公式<math>\frac{df}{dt}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dt}</math>より
:<math>\frac{dy}{dt}=\frac{\frac{df}{dt}}{\frac{df}{dy}}=\frac{a\sqrt{y}}{\pi(y^2-2ry)}</math>
である。<math>y</math>は時間とともに減少することに注意すると、水面が降下する速さは
:<math>v=-\frac{dy}{dt}=\frac{a\sqrt{y}}{\pi(2ry-y^2)}</math>
である。これが最小になるような<math>y</math>を求めればよい。<math>y</math>で微分すると
:<math>\frac{dv}{dy}=\frac{a\sqrt{y}(3y-2r)}{2\pi(2ry-y^2)^2}</math>
なので、<math>v</math>が最小になるのは<math>y=\frac{2r}{3}</math>のときである。

(2) 逆関数の微分公式より
:<math>\frac{dt}{dy}=\frac{\pi(y^2-2ry)}{a\sqrt{y}}=\frac{\pi(y\sqrt{y}-2r\sqrt{y})}{a}</math>
なので、求める時刻は
:<math>\int_{2r}^{\frac{2r}{3}}\frac{\pi(y\sqrt{y}-2r\sqrt{y})}{a}dy=\frac{2\pi}{15a}[y\sqrt{y}(3y-10r)]_{2r}^{\frac{2r}{3}}=\frac{16r^2\sqrt{2r}\pi(9-2\sqrt{3})}{135a}</math>
である。

'''第４問'''

(1) <math>GR^{-2}=mg</math>より、<math>G=mgR^2</math>である。よって、惑星表面から、中心からの距離が''r''の場所まで移動する際、宇宙船が惑星の引力から受ける仕事は
:<math>\int_R^r Gx^{-2} dx=\int_R^r mgR^2x^{-2} dx=[-mgR^2 x^{-1}]_r^R=mg\left(\frac{R^2}{r}-R\right)</math>
である。よって力学的エネルギー保存則より
:<math>\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv_0^2+mg\left(\frac{R^2}{r}-R\right)</math>
なので、整理して
:<math>v^2 = \frac{2gR^2}{r}+{v_0}^2-2gR</math>
を得る。

(2) 任意の''r''に対して<math>v^2>0</math>であればよい。<math>v^2</math>は''r''について単調減少なので、
:<math>\lim_{r \to \infty}v^2=v_0^2-2gR \ge 0</math>
であればよい。すなわち、
:<math>v_0 \ge \sqrt{2gR}</math>
であればよい。

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