高等学校数学III/極限/演習Aのソースを表示

この項は[[高等学校数学III 極限]]の演習問題Aである。
== 問題 ==
=== 問1 ===
第<math>n</math>項が次の式で表される数列の極限を調べよ。また極限値が存在するならば求めよ。

(1) <math>\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}</math>.<br />
(2) <math>\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})</math>.<br />
(3) <math>(-1)^n\left(1-\frac{2n}{3n-1}\right)</math>.

=== 問2 ===
<math>r>1</math> のとき、次を証明せよ。
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n}{r^n}=0</math>.

=== 問3 ===
<math>a_n=\frac{k^n}{n!}</math> の収束・発散について調べよ。極限値が存在する場合はこれを求めよ。ただし、<math>k</math> は定数とする。
== 解答 ==
=== 問1 ===

(1) <math>\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}=\frac{3}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1-\frac{1}{n}}</math>.<br />
よって、<math>\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}\right)=4</math>.<br />

(1)（別解） <math>\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}=3-\frac{3}{n+1}+1+\frac{1}{n-1}=4-\frac{3}{n+1}+\frac{1}{n-1}</math>.<br />
よって、<math>\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n}{n+1}+\frac{n}{n-1}\right)=4</math>.<br />

(2) <math>\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}</math>.<br />
よって、<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{2}</math>.<br />

(2)（別解） <math>\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)^2}</math>.<br />
よって、<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{2}</math>.<br />

(3) <math>(-1)^n\left(1-\frac{2n}{3n-1}\right)=(-1)^n\left(1-\frac{2}{3-\frac{1}{n}}\right)</math>.<br />
よって、<math>n</math>が偶数のとき<math>1-\frac{2}{3-\frac{1}{n}}</math>、<math>n</math>が奇数のとき<math>-1+\frac{2}{3-\frac{1}{n}}</math>なので、収束しない。（振動する）

(3)（別解） <math>(-1)^n\left(1-\frac{2n}{3n-1}\right)=(-1)^n\left(1-\frac{2}{3}-\frac{2}{3(3n-1)}\right)=\frac{(-1)^n}{3}-\frac{2(-1)^n}{3(3n-1)}</math>.<br />
よって、<math>n</math>が偶数のとき<math>\frac{1}{3}-\frac{2}{3(3n-1)}</math>、<math>n</math>が奇数のとき<math>-\frac{1}{3}+\frac{2}{3(3n-1)}</math>なので、収束しない。（振動する）

=== 問2 ===
<math>\frac{n}{r^n}>0</math>は明らか。

<math>r>1</math>なので、<math>h>0</math>を用いて<math>r=1+h</math>と表せる。
<math>n \geqq 2</math>のとき、<math>r^n=(1+h)^n \geqq 1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2</math>なので、
:<math>\frac{n}{r^n} \leqq \frac{n}{1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2}=\frac{1}{\frac{1}{n}+h+\frac{n-1}{2}h^2}\to 0 \ (n \to \infty)</math>
である。したがって、はさみうちの原理より
<math>\lim_{n \to \infty}\frac{n}{r^n}=0</math>

=== 問3 ===
<math>\frac{k^n}{n!}>0</math>は明らか。

<math>k</math>は定数なので、<math>k<m</math>なる自然数<math>m</math>が取れる。
<math>n>m</math>のとき、
:<math>\frac{k^n}{n!}= \frac{k \cdot k \cdot \cdots \cdot k \cdot k \cdot \cdots \cdot k}{1 \cdot 2 \cdot \cdots m \cdot (m+1) \cdot \cdots \cdot n} \leqq \frac{k \cdot k \cdot \cdots \cdot k \cdot k \cdot \cdots \cdot k}{1 \cdot 2 \cdot \cdots m \cdot m \cdot \cdots \cdot m}=\frac{m^m}{m!}\left(\frac{k}{m}\right)^n \to 0 \ (n \to \infty)</math>
である。したがって、はさみうちの原理より
<math>\lim_{n \to \infty}\frac{k^n}{n!}=0</math>

{{stub}}

[[カテゴリ:極限 (数学)]]