解析学基礎/指数関数と対数関数のソースを表示

== 指数関数 ==
=== 定義 ===
==== 指数が整数のとき ====
<math>a>0</math>、<math>n \in \mathbb{N}</math>のとき、aをn回かけた数を<math>a^n</math>であらわす。すなわち、
<math>\underbrace{ a \times a \times \cdots \times a }_{n\text{ 個}} = a^n</math>である。<br />
また、<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n} </math>、<math>a^0=1</math>とする。

このとき、<math>a^n</math>は、<math>a>1</math>のとき単調増加、<math>0<a<1</math>のとき単調減少、<math>a=1</math>のとき定数である。

==== 指数が有理数のとき ====
<math>a>0</math>、<math>p \in \mathbb{N}</math>、<math>q \in \mathbb{Z}</math>のとき、<math>a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^q}</math>として定義する。

<math>p_1 , p_2 \in \mathbb{N} , q_1 , q_2 \in \mathbb{Z} , {\frac{q_1}{p_1}} > {\frac{q_2}{p_2}}</math>のとき、<br/> <math> \left ( \sqrt[p_1]{a^{q_1}} \right ) ^{p_1 p_2} - \left ( \sqrt[p_2]{a^{q_2}} \right ) ^{p_1 p_2} = a^{p_2 q_1} - a^{p_1 q_2}  </math> <br/> であることから、<math>a^q (q \in \mathbb{Q})</math>は、<math>a>1</math>のとき単調増加、<math>0<a<1</math>のとき単調減少、<math>a=1</math>のとき定数であることがわかる。

==== 指数が実数のとき ====
<math>\alpha>0</math>を無理数とし、<math>\alpha</math>に収束する有理数の単調増加列を<math>r_n</math>とする。アルキメデスの原理より、<math>\alpha</math>より大きい自然数''N''が存在する。
<math>a>1</math>とすると、そのような''N''と十分大きい''n''に対し<math>1<a^{r_n}<a^N</math>なので、有界で単調な数列<math>a^{r_n}</math>は収束する。
この収束値は、<math>r_n</math>によらないことを示す。

<math>r_n , s_n </math>を、無理数<math>\alpha</math>に収束する有理数の単調増加列とし（したがって、<math>r_n , s_n < \alpha</math>)、<math>a^{r_n} \to \beta</math>とする。任意の<math>\epsilon</math>に対して、<math>0< \beta - a^{r_N}< \epsilon </math>を満たす自然数''N''が存在し、<math>s_n</math>が<math>\alpha</math>に収束することから、''n''を十分大きくとれば、<math>r_N < s_n</math>を満たす。そのようなnに対し、<math>0< \beta - a^{s_n} < \epsilon </math>なので、<math>a^{s_n} \to \beta</math>である。

この収束値の値を<math>a^{\alpha}</math>の値として定義する。
<math>0<a<1</math>についても同様である。また、<math>\alpha<0</math>のときは<math>a^\alpha=\frac{1}{a^{-\alpha}}</math>と定める。
定義から、指数関数<math>a^x (x \in \mathbb{R} )</math>は<math>a>1</math>のとき単調増加、<math>0<a<1</math>のとき単調減少、<math>a=1</math>のとき定数である。

=== 性質 ===
<math> s,t \in \mathbb{R} , a,b>0 </math>のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。
*<math>a^s a^t = a^{s+t}</math>
*<math>(a^s)^t = a^{st}</math>
*<math>(ab)^s = a^s b^s</math>
:<b>証明</b>

また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。
*<math>a>1</math>のとき<math> \lim_{x\rightarrow \infty} a^x = \infty , \lim_{x\rightarrow - \infty} a^x = 0</math>
*<math>0<a<1</math>のとき<math> \lim_{x\rightarrow \infty} a^x = 0 , \lim_{x\rightarrow - \infty} a^x = \infty</math>
:<b>証明</b>

== 対数関数 ==
=== 定義 ===
指数関数<math>y=a^x</math>の逆関数を<math>y= \log_{a} x</math>と書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略して<math>y= \log x</math>と書く。

=== 性質 ===
定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。<math>0<a,b \neq 1 ,x,y,r \in \mathbb{R} , x,y>0</math>のとき、
*<math> \log_{a} (xy) = \log_{a} x + \log_{a} y</math>
*<math> \log_{a} x^r = r \log_{a} x</math>
*<math> \log_{a} x = \frac{ \log_{b} x}{ \log_{b} a} </math>
*対数関数は連続である。
*<math> a>1</math>のとき<math> \lim_{x\rightarrow \infty} \log_{a} x = \infty , \lim_{x\rightarrow +0} \log_{a} x = -\infty  </math>
*<math> 0<a<1</math>のとき<math> \lim_{x\rightarrow \infty} \log_{a} x = -\infty , \lim_{x\rightarrow +0} \log_{a} x = \infty  </math>
:<b>証明</b>

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