解析学基礎/広義積分のソースを表示

区間[a,b]上の連続関数f(x)の定積分<math>\int_a^b f(x)\,dx</math>についてはこれまでに述べた通りです。この節では、区間が有限でない場合について述べます。

=== 無限区間の積分 ===
無限区間の積分とは、積分区間の片方の端（あるいは両端）がないものをいいます。このような積分は、たとえばa以上のすべての実数という区間について積分するならば<math>\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx</math>のように、<math>\infty</math>を使って表します。このような積分は、単純に原始関数を見つけて<math>\infty</math>を代入する、などといって計算することはできませんが、極限を用いて積分を書き直せばうまくいきそうです。
:<math>\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx</math>
このように書きなおせば、原始関数を見つけて定積分を計算し、積分が収束するかを確かめればよいことがわかります。
:<math>\lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \rightarrow \infty}\left(- \frac{1}{b} + 1\right) = 1</math>

そこで、一般の無限区間の広義積分については、以下のように定義します。
*(a) <math>b \ge a</math>となる任意の数''b''について<math>\int_a^b f(x)\,dx</math>が存在するとき
:<math>\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)\,dx</math>
*(b) <math>a \le b</math>となる任意の数''a''について<math>\int _a^b f(x)\,dx</math>が存在するとき
:<math>\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a \rightarrow {-\infty}} \int_a^b f(x)\,dx</math>
これらの極限が存在するとき積分は収束するといい、存在しないときは発散するといいます。

*(c) 同様にして<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx</math>を以下のように定義することができます。
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^a f(x)\,dx + \int_a^\infty f(x)\,dx</math>
ただし、定義できるのはどちらの積分も収束するときです。

例を見てみましょう。<math>\int_{0}^\infty x\exp(-x^{2})\,dx</math>は収束するでしょうか。
:<math>\int_{0}^\infty x\exp(-x^{2})\,dx = \lim_{b\rightarrow\infty} \int_0^b x\exp(-x^{2})\,dx</math>
<math>u=-x^2, dx=-\frac{du}{2x}</math>と置換を行うと、合成関数の微分法より原始関数を見つけることができ、
:<math>\lim_{b\rightarrow\infty} \int_0^b x\exp(-x^{2})\,dx = \lim_{b\rightarrow{\infty}}\left[-\frac{\exp(-x^{2})}{2} \right]_0^b=\lim_{b\rightarrow\infty} \left\{\frac{1}{2}-\frac{\exp(-b^{2})}{2}\right\} =\frac{1}{2}</math>
よってこの積分は1/2に収束します。

=== 優関数の原理 ===
具体的に原始関数を見つけられない場合でも、広義積分が収束するかどうか判定できれば便利です。そのような判定のために、次の定理が役に立ちます。

'''定理''' 連続関数<math>f(x)</math>に対して、<math>a \le x</math>において<math>|f(x)| \le g(x)</math>をみたし、<math>\int_a^\infty g(x) dx</math>が収束するような連続関数<math>g(x)</math>が存在するならば、<math>\int_a^\infty f(x) dx</math>は収束する。

この<math>g(x)</math>を<math>f(x)</math>の優関数といいます。

（証明）
:<math>\int_a^\infty g(x) dx = G</math>
とおく。仮定より、<math>a \le t \le s</math>なる''t'',''s''に対して
:<math>\left|\int_t^s f(x)dx\right| \le \int_t^s |f(x)| dx \le \int_t^s g(x) dx</math>
である。よって、<math>n \ge a</math>なる自然数''n''に対して<math>c_n=\int_a^n f(x)dx, d_n=G-\int_a^n g(x) dx</math>とすると、非負の値をとる数列<math>d_n</math>は<math>\lim_{n \to \infty} d_n=0</math>を満たし、<math>n \ge m</math>なる自然数''m''に対して
:<math>|c_n-c_m| \le d_m-d_n \le d_m</math>
が成り立つ。よって数列<math>c_n</math>はコーシー列なので、<math>\lim_{n \to \infty} c_n</math>は収束する。<math>\lim_{n \to \infty} c_n=F</math>とする。

<math>a \le t \le n</math>なる実数''t''と自然数''n''を考えると、
:<math>\left|\int_a^n f(x) dx-\int_a^t f(x) dx\right|=\left|\int_t^n f(x)dx\right| \le \int_t^n g(x) dx=\int_a^n g(x) dx-\int_a^t g(x) dx</math>
なので、<math>n \to \infty</math>の極限をとると
:<math>\left|F-\int_a^t f(x) dx\right| \le G-\int_a^t g(x) dx</math>
である。さらに<math>t \to \infty</math>の極限をとると
:<math>\lim_{t \to \infty}\left(G-\int_a^t g(x) dx\right)=0</math>
なので、はさみうちの原理より
:<math>\lim_{t \to \infty}\left|F-\int_a^t f(x) dx\right|=0</math>
である。すなわち、
:<math>\int_a^\infty f(x) dx=F</math>
である。//

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