解析学基礎/双曲線関数のソースを表示

== 双曲線関数 ==
双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。

:<math>{\rm sinh}\ x = {e^x - e^{-x} \over 2},\ \  {\rm cosh}\ x = {e^x + e^{-x} \over 2}</math>

「sinh」は「ハイパーボリックサイン（hyperbolic sine）」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン（hyperbolic cosine）」の略です。

== 性質 ==
双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、<math>e^x</math>の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。

#cosh<sup>2</sup> ''x'' &minus; sinh<sup>2</sup> ''x'' = 1
#sinh(&alpha;+&beta;) = sinh &alpha; cosh &beta; + cosh &alpha; sinh &beta;
#cosh(&alpha;+&beta;) = cosh &alpha; cosh &beta; + sinh &alpha; sinh &beta;
#<math>{d \over dx}\,{\rm sinh}\ x\, = {\rm cosh}\ x</math>
#<math>{d \over dx}\,{\rm cosh}\ x\, = {\rm sinh}\ x</math>

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

単位円の上の点の座標は、三角関数を使って<math>( x, y ) = ( cos t, sin t )</math>と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を<math>( x, y ) = ( cosh t, sinh t )</math>と表すことができることがわかります。

== 使いかた ==
置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \,dx</math>

は<math>x = sin t</math>という置換によって

:<math>\int_0^{\pi/2} cos^2 t \,dt</math>

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

:<math>\int_0^1 \sqrt{1+x^2} \,dx</math>

という積分を計算してみましょう。まず、<math>x = sinh t</math>と置換すると

:<math>\int_0^{\log ( 1 + \sqrt{2} ) } cosh^2 t \,dt</math>

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

:<math>\frac{\sqrt{2} + \log( 1 + \sqrt{2} ) }{2}</math>

です。

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