線型代数学/行列と行列式/第三類/直線・平面のソースを表示

まず，ベクトルによって平面上の直線を表す方法を確認する．


<!-- def:003:start -->
<strong>定義3</strong>
<strong>直線の方程式（パラメータ表示）</strong>

平面上の点 <math>\mathrm{A}(\vec{a})</math> を通り，<math>\vec{u}</math> に平行な直線を <math>l</math> とする．
この <math>l</math> 上の点を <math>\mathrm{P}</math> とし，<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{x}</math> とする．
すると <math>\vec{\mathrm{AP}} = t\vec{u}</math> を満たす実数 <math>t</math> があって，

<math>\vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}</math>

<math>(\vec{\mathrm{OP}} = \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{AP}})</math>

と表される．

これを直線 <math>l</math> の<strong>ベクトル方程式</strong>という．
<!-- def:003:end -->


<math>t</math> は媒介変数，または <strong>パラメータ</strong> と呼ばれる．

これは平面上の直線を表しているが，空間内の直線を表す場合でも同じ要領であらわすことができる．
上で「平面上の」を「空間内の」に読み替えれば済むからである．


<!-- ex:002:start-->
<div id="ex:2">
<strong>演習2.</strong><math>\quad</math>

座標平面上の点 <math>\mathrm{A}(-4, 5)</math> を通り，<math>\vec{u} = (-1, 3)</math> に平行な直線 <math>l</math> を、
<math>ax + by + c = 0</math> の形で表せ．


<strong>解答例1</strong>

<math>l</math> 上の点 <math>\mathrm{P}</math> について，ある実数 <math>t</math> があって，

:<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{AP}} =
\left(
    \begin{array}{c}
       -4 \\
       5
    \end{array}
  \right)
+ t
\left(
    \begin{array}{c}
       -1 \\
       3
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
       -t - 3 \\
       3t + 5
    \end{array}
  \right)
</math>

<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y)</math> とすれば，
<math>x = -t -4, y = 3t + 5</math>．
これから t を消去する．<math>3x + y</math> を考えると <math>t</math> が消えることが容易に予想されるので，このまま <math>3x + y</math> を計算すると，

:<math>3x + y = 3(-t -4) + (3t + 5)</math>

:<math>= -3t - 12 + 3t + 5</math>

:<math> = -7</math>

すなわち

:<math>3x + y + 7 = 0</math>
<math>\blacksquare</math>
<!-- ex:002-1:end-->



<strong>解答例2</strong>

パラメータ <math>t</math> を用いない方法を示す．
問題の直線 <math>l</math> は <math>\vec{u} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
</math>
に平行であったが，これに垂直なベクトル <math>\vec{h} =
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
</math>
（成分を逆さにして片方にマイナスをつけた．すると <math>\vec{u}\cdot\vec{h} = 0</math><ref>
ベクトル <math>\vec{a} =
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
</math>
に対してベクトル <math>\vec{b}</math> を，<math>\vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       y\\
       -x
    \end{array}
  \right)
</math>
とすると <math>\vec{a}\cdot \vec{b} = 
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       y\\
       -x
    \end{array}
  \right)
= xy + y(-x) = 0</math>．
あるいは
<math>\vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       -y\\
       x
    \end{array}
  \right)
</math>
としても
<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = 
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       -y\\
       x
    \end{array}
  \right)
= x(-y) + yx = 0</math>で同様となる．

</ref>．）
を用いれば次のように表現できる．

<math>l</math> は <math>\mathrm{A}(\vec{a})</math> を通り <math>h</math> に垂直だから，この <math>l</math> 上に <math>\mathrm{P}</math> をとり，
<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{x}</math> とすると，<math>\mathrm{P}</math> が <math>l</math> 上にある．

<math>\Leftrightarrow \vec{\mathrm{AP}} \bot \vec{h}</math>

<math>\Leftrightarrow (\vec{x} - \vec{a})\cdot \vec{h} = 0</math> …①

<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y)</math> とすれば，<math>\vec{x} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
, \vec{a} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       -4\\
       5
    \end{array}
  \right)
, \vec{h} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
</math>
なので，①より

:<math>\left \{ 
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
-
\left(
    \begin{array}{c}
       -4\\
       5
    \end{array}
  \right)
\right \}
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
= 0</math>

<math>\therefore
\left(
    \begin{array}{c}
       x + 4\\
       y - 5
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
= 0</math>

<math>\therefore
3(x + 4) + y - 5 = 0
</math>

<math>
\therefore
3x + y + 7 = 0
</math>

となり，同じ直線の式が得られた．

<math>\blacksquare</math>
<!-- ex:002-2:end-->


①のように、平面上の直線をベクトルで表す方法にはパラメータを用いない方法もある．


<!-- def:004:start -->
<strong>定義4</strong>
<strong>直線の方程式（<math>ax + by + c = 0</math>）</strong>

平面上の点 <math>\mathrm{A}(\vec{a})</math> を通り，<math>\vec{h}</math> に垂直な直線を <math>l</math> とする．
この <math>l</math> 上に点 <math>\mathrm{P}</math> をとり，<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{x}</math> とすると，
<math>\vec{x}</math> は 

<math>(\vec{x} - \vec{a}) \cdot\vec{h} = 0</math> 

を満たす．<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y)</math> として成分を計算すると．

<math>ax + by + c = 0</math>

の形をしている．
<!-- th:004:end -->


次に，問題を解きながら空間内の平面の表し方を解説してゆく．


<!-- ex:003:start-->
<div id="ex:3">
<strong>演習3.</strong><math>\quad</math>

座標空間の点 <math>\mathrm{A}(0, 2, 1)</math> を通り，
<math>
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
</math>，<math>
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
</math>
に平行な平面を <math>\pi</math> とする．
<math>\pi</math> 上の点 <math>\mathrm{P}</math> について，
<math>\vec{\mathrm{OP}}</math> をパラメータ <math>s, t</math> を用いて表せ．
また，<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y, z)</math> をするとき，
<math>x, y, z</math> が満たす等式を求めよ．


<strong>解答</strong>


<math>\vec{u} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
, \vec{v} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
</math> とおく．<math>\vec{\mathrm{AP}}</math> は <math>\pi</math> に含まれるベクトルだから，ある実数 <math>s, t</math> を用いて <math>\vec{\mathrm{AP}} = s\vec{u} + t\vec{v}</math> と表すことができる<ref>ただし <math>\vec{u}, \vec{v}</math> が線形独立である必要がある．ここでは <math>\vec{u}, \vec{v}</math> の向きは平行ではなく，これを満たす</ref>．

<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{AP}}</math>
:<math> = \vec{\mathrm{OA}} + s\vec{u} + t\vec{v}</math>
:<math> = 
\left(
    \begin{array}{c}
       0\\
       2\\
       1
    \end{array}
  \right)
+s
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
+t
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
</math>
すなわち <math>\mathrm{P} (x, y, z)</math> として

<math>
\begin{cases}
x = s + 2t \\
y = 2 -2s -t \\
z = 1 + s + 3t
\end{cases}
</math>

これらからパラメータ <math>s, t</math> を消去する．

<math>x+2y = s+2t+2(2-2s-t)= -3s+4</math><br />
<math>\therefore s = \frac{4-x-2y}{3}</math><br />
<math>2x+y=s(s + 2t) + 2-2s-t = 3t + 2</math><br />
<math>\therefore t = \frac{2x+y-2}{3}</math><br />
これを <math>z = 1 + s + 3t</math> に代入して<br />
<math>z = 1 + \frac{4-x-2y}{3} + 3\cdot \frac{2x+y-2}{3}</math><br />
<math>3z=3+4-x-2y + 3(2x+y-2)</math><br />
<math>\therefore 5x+y-3z = -1</math>


次に <math>\pi</math> に垂直なベクトル（法線ベクトルという）を用いて，関係式を求める．

<math>\pi</math> に垂直なベクトル <math>\vec{h}</math> は <math>\vec{u}, \vec{v}</math> のそれぞれに垂直だから，<math>\vec{h}</math> は <math>\vec{u} \times \vec{v}</math> に平行である<ref>
[[線型代数学/行列と行列式/第三類/外積#th:005|定理5 ]](1) <math>\vec {a} \times \vec {b}</math> は， <math>\vec {a}</math>，<math>\vec {b}</math> の両方と直交する．
</ref>．
だから，

<math>\vec{h} = \vec{u} \times \vec{v} =
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
\times
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{c}
       -5\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
</math>
とおくことができる．

<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{x}, \vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}</math> とする．すると，

:<math>\mathrm{P}</math> が <math>\pi</math> 上にある

:<math>\iff \vec{\mathrm{AP}} \bot \vec{h}</math>
 
:<math>\iff (\vec{x} - \vec{a})\cdot \vec{h} = 0</math>

<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y, z)</math> とすれば，
<math>\vec{x} =
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y\\
       z
    \end{array}
  \right)
, \vec{a} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       0\\
       2\\
       1
    \end{array}
  \right)
</math>，

<math>
\left(
    \begin{array}{c}
       x - 0\\
       y - 2\\
       z - 1
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       -5\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
= -5x -(y - 2) + 3(z - 1) = 0</math>

<math>\therefore 5x + y -3z = -1</math>

これが平面 <math>\pi</math> の方程式である．平面の方程式の係数 <math>(5, 1, -3)</math> を並べると平面の法線ベクトルになっている．

<!-- ex:003:end-->

一般の形でまとめておく．


<!-- def:005:start -->
<strong>定義5</strong>
<strong>平面の方程式（パラメータ表示）</strong>

空間内の点 <math>\mathrm{A}(\vec{a})</math> を通り，<math>\vec{u}, \vec{v}</math> に平行な平面を <math>\pi</math> とする．
この <math>\pi</math> 上の点を <math>\mathrm{P}</math> とし，<math>\vec{\mathrm{OP}}=\vec{x}</math> とすると，
<math>\vec{\mathrm{AP}} = s\vec{u}+t\vec{u}</math> を満たす実数 <math>s, t</math> があって，
<math>\vec{x}</math> は，

:<math>\vec{x} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v} \quad (\vec{\mathrm{OP}} = \vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{AP}})</math>

と表される．
<!-- def:005:end -->


<!-- def:006:start -->
<strong>定義6</strong>
<strong>平面の方程式（<math>ax+by+cz+d=0</math>）</strong>

空間上の点 <math>\mathrm{A}(\vec{a})</math> を通り，<math>\vec{h}</math> に垂直な平面を <math>\pi</math> とする．
この <math>\pi</math> 上に点 <math>\mathrm{P}</math> をとり，<math>\vec{\mathrm{OP}}=\vec{x}</math> とする．
<math>\vec{x}</math> は，

:<math>(\vec{x} - \vec{a})\cdot \vec{h} = 0 \quad (\vec{\mathrm{AP}} \bot \vec{h})</math>

を満たす．<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y, z)</math> として，成分を計算すると

:<math>ax + by + cz + d = 0</math>

の形になり，ベクトル <math>(a, b, c)</math> は <math>\vec{h}</math> に平行である．
<!-- def:006:end -->




<references />

[[カテゴリ:線形代数学]]