線型代数学/線形写像のソースを表示

==線型変換==

===単位ベクトル===
次の2つの2次元ベクトルを、R<sup>2</sup>の単位ベクトル（unit vector）という。

<math>\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
 1\\
 0\\
\end{pmatrix}</math>,　
<math>\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 0\\
 1\\
\end{pmatrix}</math>

また、次の3つの3次元ベクトルをR<sup>3</sup>の単位ベクトルという。

<math>\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
 1\\
 0\\
 0\\
\end{pmatrix}</math>,　
<math>\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 0\\
 1\\
 0\\
\end{pmatrix}</math>,　
<math>\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 0\\
 0\\
 1\\
\end{pmatrix}</math>

平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。
三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。
このような性質を指して、単位ベクトルの組はR<sup>2</sup>(R<sup>3</sup>)の'''基底'''（basis）であるという。

===R<sup>2</sup>の線型変換===

行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、

<math>A=\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}</math>　　　　　　(6.1)

のことである。同時に行列

<math>B=\begin{pmatrix}
 p & q\\
 r & d\\
\end{pmatrix}</math>との掛け算を

<math>BA=
\begin{pmatrix}
 ap+cq & bp+dq\\
 ar+cs & br+ds\\
\end{pmatrix}</math>

対してベクトル
<math>\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}</math>

との掛け算は、

<math>\mathbf{x}'=A\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 ax+by\\
 cx+dy\\
\end{pmatrix}</math>

と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトル'''x'''の点Pが、行列Aをかけることによって
位置ベクトル'''x''''の点P'に変換されたと見ることができる。

例えば、

<math>
\begin{pmatrix}
 1& 0\\
 0& -1\\
\end{pmatrix}
</math>

は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。

　次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P<nowiki>''</nowiki>(位置ベクトル'''x'''<nowiki>''</nowiki>)に移そう。

<math>\mathbf{x}''=B(A\mathbf{x})=B\mathbf{x}'=
\begin{pmatrix}
 p & q\\
 r & s\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 ax+by\\
 cx+dy\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 (ap+cq)x+(bp+dq)y\\
 (ar+cs)x+(br+ds)y\\
\end{pmatrix}</math>

　　　
<math>=(AB)\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 ap+cq & bp+dq\\
 ar+cs & br+ds\\
\end{pmatrix}\mathbf{x}</math>

よって、'''x'''''=B(A'''x''')=(BA)'''x'''

行列A,B,C,ベクトル'''x''','''y''',数cに関して次の性質が成り立つ。

A(BC)=(AB)C

<math>
\begin{cases}
 A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y})\\
 A(c\mathbf{x})=(Ac)\mathbf{x}
\end{cases}</math>　　　　　(6.2)

特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされる'''R'''<sup>2</sup>の変換T<sub>A</sub>:'''x'''→A'''x'''(「T<sub>A</sub>は'''x'''のA'''x'''への変換」と言う意味）の線型性（linearity）と言う。一般にR<sup>2</sup>変換Tが、次の性質を満たすとき、Tを'''R'''<sup>2</sup>の線型変換（linear transformation）という。

<math>
\begin{cases}
 T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\mathbf{x}+T\mathbf{y}\\
 T(c\mathbf{x})=c(T\mathbf{x})
\end{cases}</math>

一般に次の定理が成り立つ。


'''定理(6.1)'''

TをR<sup>2</sup>上の変換とするとき、

Tが線型変換⇔あるAに対してT'''x'''=A'''x'''


(証明)
<math>\Leftarrow</math>は既に示した。<math>\Rightarrow</math>を示す。

単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。（その理由は別のところで述べる）

<math>T\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
 a\\
 c\\
\end{pmatrix}</math>　
<math>T\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 b\\
 d\\
\end{pmatrix}</math>とする。

任意の<math>\mathbf{x}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2</math>

Tは線型変換なので、

<math>T\mathbf{x}=T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xT\mathbf{e}_1+yT\mathbf{e}_2
=x\begin{pmatrix}
 a\\
 c\\
\end{pmatrix}+y
\begin{pmatrix}
 b\\
 d\\
\end{pmatrix}</math>

　　<math>=\begin{pmatrix}
 ax+by\\
 cx+dy\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}</math>

<math>A=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}</math>とすれば、

T'''x'''=A'''x'''　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　♯

Aによって引き起こされる変換をT<sub>A</sub>と書くこともある。

行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルを'''o'''に移す変換であり、対応する行列を零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、特にOと書く。

<gallery widths="300" heights="200">
File:Streckung eines Vektors.gif|写像 <math display="inline">f:\R^2 \to \R^2</math> を <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> で与える。この写像は線形写像である。 この写像はベクトルの <math display="inline">x</math> 成分を <math display="inline">2</math>倍にする。
File:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|写像 <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> について <math display="inline">f(a + b) = f(a) + f(b)</math> が成り立つ。
File:Streckung homogenitaet Version 3.gif|写像 <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> について <math display="inline">f(\lambda a) = \lambda f(a)</math> が成り立つ。 
</gallery>

'''例'''

全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列（rotation matrix）と呼ばれる。対応する行列は

<math>\begin{pmatrix}
 \cos \alpha & -\sin \alpha\\
 \sin \alpha & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}</math>である。


演習

1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ

2.T<sub>B</sub>T<sub>A</sub>=T<sub>BA</sub>を示せ。

3.

　T'''x'''を'''x'''の'''a'''への正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時

　<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
\end{pmatrix}</math>　
<math>a^2+b^2=1</math>
とすると、Tに対応する行列を求めよ

4.

　('''a''','''b''')=0,'''a''','''b'''≠'''o'''

　S:'''a'''への射影子,　　T:'''b'''への射影子

　とする。この時次の三つを証明せよ。

　(1)T^2=S　(2)TS=ST=O　(3)任意の'''x'''に対して、T'''x'''+S'''x'''='''x'''

===R<sup>3</sup>の線型変換===

前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表

<math>A=
\begin{pmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
 a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
 a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>

も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。

ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、

<math>\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
 z\\
\end{pmatrix}</math>に対しては、
<math>A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
a_{1,1}x + a_{1,2}y + a_{1,3}z\\
a_{2,1}x + a_{2,2}y + a_{2,3}z\\
a_{3,1}x + a_{3,2}y + a_{3,3}z\\
\end{pmatrix}</math>が、

<math>B=
\begin{pmatrix}
 b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
 b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
 b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>と
<math>AB=
\begin{pmatrix}
 c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\
 c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\
 c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>にたいしては、

<math>c_{k,j}=\sum_{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}</math>(i,j=1,2,3)

が定義されている。次のような性質がある。

(AB)'''x'''=A(B'''x'''),　(AB)C=A(BC)


A('''x'''+'''y''')=A'''x'''+B'''y''',　A(c'''x''')=(Ac)'''x'''　　　　　(6.3)

R<sup>3</sup>における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。

T('''x'''+'''y''')=T('''x''')+T('''y''')
T(c'''x''')=c(T'''x''')

前部とまったく同様に次の定理が導ける

'''定理(6.2)'''

　R<sup>3</sup>においてTが線型変換⇔あるAに対してT'''x'''=A'''x'''

Aによって引き起こされる変換をT<sub>A</sub>と書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルを'''o'''に線形変換する行列であり、これを零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、Oと書く。

'''例'''

　y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は

<math>\begin{pmatrix}
 \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha\\
 0 & 1 & 0\\
 \sin \alpha & 0 & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}</math>

'''演習'''

1.定理(6.2)を証明せよ

2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か

　(1)<math>\begin{pmatrix}
 -1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>　
(2)<math>\begin{pmatrix}
 \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\
 \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>　
(3)<math>\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0\\
 1 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>

3.

　<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
 c\\
\end{pmatrix}</math>,　<math>a^2+b^2+c^2=1</math>

　この時、'''a'''への射影子に対応する行列を求めよ。

4.

　'''b'''と'''c'''の張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトル'''x''')から垂線を下ろす。その足をP'（位置ベクトル'''x'''')とするとき、'''x''''を'''x'''の正射影、T'''x''':　'''x'''→'''x''''を'''b''','''c'''の張る平面への射影子と言う。さて、今'''a''','''b''','''c'''が直交しているとしよう。'''x'''の'''a'''への射影子をS,'''x'''の'''b''','''c'''の張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ

　(1)T<sup>2</sup>=T　(2)TS=ST=O　(3)任意の'''x'''にたいし、T'''x'''+S'''x'''='''x'''

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