線型代数学/内積のソースを表示

===内積===
実ベクトル<math> \mathbf a= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}, \mathbf b= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix}</math>に対し、内積<math>( \mathbf a, \mathbf b) =  \sum_{i=1}^n a_i b_i</math>と定義する。
(記号が変わっただけで、高校で習った内積<math> \mathbf a \cdot \mathbf b</math>と同じである。)<br>
内積については、以下の性質が成り立つ。
#<math>( \mathbf a, \mathbf b)=( \mathbf b, \mathbf a)</math>
#<math>( \mathbf a+ \mathbf b, \mathbf c)=( \mathbf a, \mathbf c)+( \mathbf b, \mathbf c),( \mathbf a, \mathbf b+ \mathbf c)=( \mathbf a, \mathbf b)+( \mathbf a, \mathbf c)</math>
#<math>(c \mathbf a, \mathbf b)=c( \mathbf a, \mathbf b) = ( \mathbf a, c\mathbf b)</math>
#<math>( \mathbf a, \mathbf a) \ge 0</math> 
:ただし、<math> \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>を実ベクトル、<math>c</math>を実数とする。<br>

'''証明'''
#<math>( \mathbf a, \mathbf b) = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \sum_{i=1}^{n} b_i a_i = ( \mathbf b , \mathbf a)</math>
#<math>( \mathbf a+ \mathbf b, \mathbf c)=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)c_i = \sum_{i=1}^{n} (a_i c_i + b_i c_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i c_i + \sum_{i=1}^{n} b_i c_i = ( \mathbf a, \mathbf b)+( \mathbf a, \mathbf c) </math>
#<math>(c \mathbf a, \mathbf b) = \sum_{i=1}^n c a_i b_i = c \sum_{i=1}^n a_i b_i = c( \mathbf a, \mathbf b)</math><br><math>\sum_{i=1}^n c a_i b_i = \sum_{i=1}^n a_i (c b_i) = ( \mathbf a, c \mathbf b)</math>
#<math>( \mathbf a, \mathbf a) = \sum_{i=1}^n a_i a_i = \sum_{i=1}^n a_i^2</math><br><math>a_i</math>は実数なので、<math> a_i^2\ge 0</math>よって<math>( \mathbf a, \mathbf a) \ge 0</math><br>等号成立は、<math>a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0</math>つまり<math> \mathbf a = \mathbf 0</math>のとき

===ノルム===
<math>\| \mathbf a\| = \sqrt{( \mathbf a, \mathbf a)}</math>を<math> \mathbf a </math>の'''ノルム'''という。

ノルムについては以下の性質が成り立つ。
#<math>\| \mathbf a \| \ge 0</math>
#<math>\| c \mathbf a \| = |c| \| \mathbf a \|</math>
#<math>|( \mathbf a , \mathbf b)| \le \| \mathbf a \| \| \mathbf b \|</math>(シュワルツの不等式)
#<math>\| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|</math>(三角不等式)<br>ただし<math> \mathbf a, \mathbf b</math>を実ベクトル、<math>c</math>を実数とする。
'''証明'''
#<math>( \mathbf a, \mathbf a) \ge 0</math>なので<math>\| \mathbf a \| \ge 0</math><br>等号成立は<math>( \mathbf a, \mathbf a)=0</math>つまり、<math> \mathbf a = \mathbf 0</math>のとき
#<math>\| c \mathbf a \| = \sqrt{(c \mathbf a, c \mathbf a)} = \sqrt{c ( \mathbf a, c \mathbf a)} = \sqrt{c^2 ( \mathbf a, \mathbf a)} = c \sqrt{( \mathbf a, \mathbf a)} = c \| \mathbf a \|</math>
#<math>(t \mathbf a + \mathbf b, t \mathbf a + \mathbf b)</math>について考える。内積の性質を使うと、<math>(t \mathbf a + \mathbf b, t \mathbf a + \mathbf b) = (t \mathbf a, t \mathbf a + \mathbf b) + ( \mathbf b, t \mathbf a + \mathbf b) = t^2( \mathbf a, \mathbf a)+t( \mathbf a, \mathbf b)+t( \mathbf b, \mathbf a)+( \mathbf b, \mathbf b)= \| \mathbf a \|^2 t^2 + 2( \mathbf a, \mathbf b) t + \| \mathbf b \| ^2</math><br><math>(t \mathbf a + \mathbf b, t \mathbf a + \mathbf b) \ge 0</math>であるので、<math>\| \mathbf a \|^2 t^2 + 2( \mathbf a, \mathbf b) t + \| \mathbf b \| ^2 \ge 0</math>である。<br><math>t</math>を変数、<math> \mathbf a, \mathbf b</math>を定数とし、2次方程式を考える。この二次方程式は常に0以上で下に凸であるので、2次方程式の判別式は0以下である。<br>なので、判別式<math>D  = 4( \mathbf a, \mathbf b)^2 - 4 \| \mathbf a \| ^2 \| \mathbf b \| ^2  \le 0</math>整理すれば、<math>( \mathbf a, \mathbf b)^2 \le \| \mathbf a \|^2 \| \mathbf b \| ^2</math><br>よって<math>|( \mathbf a , \mathbf b)| \le \| \mathbf a \| \| \mathbf b \|</math>
#<math>\| \mathbf a + \mathbf b \|^2 = ( \mathbf a + \mathbf b, \mathbf a + \mathbf b) = \| \mathbf a \|^2 + 2( \mathbf a, \mathbf b) + \| \mathbf b \| ^2</math>である。<br><math>( \mathbf a, \mathbf b) \le | (\mathbf a, \mathbf b) |</math>であることと、3.より<math>( \mathbf a, \mathbf b) \le |( \mathbf a, \mathbf b)| \le \| \mathbf a \| \mathbf b \|</math>なので、<br><math>\| \mathbf a + \mathbf b \|^2 = \| \mathbf a \|^2 + 2( \mathbf a, \mathbf b) + \| \mathbf b \| ^2 \le | \mathbf a \|^2 + 2\| \mathbf a \| \| \mathbf b \| + \| \mathbf b \| ^2 = ( \| \mathbf a \| + \| \mathbf b\|)^2</math><br>よって<math>\| \mathbf a + \mathbf b \| \le \| \mathbf a \| + \| \mathbf b \|</math>

[[カテゴリ:線形代数学]]