線型代数学/内積

内積

実ベクトル$𝐚=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right),𝐛=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$に対し、内積$(𝐚,𝐛)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$と定義する。 (記号が変わっただけで、高校で習った内積$𝐚\cdot 𝐛$と同じである。)
内積については、以下の性質が成り立つ。

1. $(𝐚,𝐛)=(𝐛,𝐚)$
2. $(𝐚+𝐛,𝐜)=(𝐚,𝐜)+(𝐛,𝐜),(𝐚,𝐛+𝐜)=(𝐚,𝐛)+(𝐚,𝐜)$
3. $(c𝐚,𝐛)=c(𝐚,𝐛)=(𝐚,c𝐛)$
4. $(𝐚,𝐚)\ge 0$

ただし、$𝐚,𝐛,𝐜$を実ベクトル、$c$を実数とする。

証明

1. $(𝐚,𝐛)=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^n{b}_i{a}_i=(𝐛,𝐚)$
2. $(𝐚+𝐛,𝐜)=\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)c_i=\sum _{i=1}^n(a_i{c}_i+b_i{c}_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i+\sum _{i=1}^n{b}_i{c}_i=(𝐚,𝐛)+(𝐚,𝐜)$
3. $(c𝐚,𝐛)=\sum _{i=1}^{n}c{a}_i{b}_i=c\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=c(𝐚,𝐛)$
   $\sum _{i=1}^{n}c{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i(c{b}_i)=(𝐚,c𝐛)$
4. $(𝐚,𝐚)=\sum _{i=1}^n{a}_i{a}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i^2$
   $a_i$は実数なので、$a_i^2\ge 0$よって$(𝐚,𝐚)\ge 0$
   等号成立は、$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$つまり$𝐚=\mathrm{𝟎}$のとき

ノルム

$\Vert 𝐚\Vert =\sqrt{(𝐚,𝐚)}$を$𝐚$のノルムという。

ノルムについては以下の性質が成り立つ。

1. $\Vert 𝐚\Vert \ge 0$
2. $\Vert c𝐚\Vert =|c|\Vert 𝐚\Vert$
3. $|(𝐚,𝐛)|\le \Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert$(シュワルツの不等式)
4. $\Vert 𝐚+𝐛\Vert \le \Vert 𝐚\Vert +\Vert 𝐛\Vert$(三角不等式)
   ただし$𝐚,𝐛$を実ベクトル、$c$を実数とする。

証明

1. $(𝐚,𝐚)\ge 0$なので$\Vert 𝐚\Vert \ge 0$
   等号成立は$(𝐚,𝐚)=0$つまり、$𝐚=\mathrm{𝟎}$のとき
2. $\Vert c𝐚\Vert =\sqrt{(c𝐚,c𝐚)}=\sqrt{c(𝐚,c𝐚)}=\sqrt{c^2(𝐚,𝐚)}=c\sqrt{(𝐚,𝐚)}=c\Vert 𝐚\Vert$
3. $(t𝐚+𝐛,t𝐚+𝐛)$について考える。内積の性質を使うと、$(t𝐚+𝐛,t𝐚+𝐛)=(t𝐚,t𝐚+𝐛)+(𝐛,t𝐚+𝐛)=t^2(𝐚,𝐚)+t(𝐚,𝐛)+t(𝐛,𝐚)+(𝐛,𝐛)=\Vert 𝐚{\Vert }^2{t}^2+2(𝐚,𝐛)t+\Vert 𝐛{\Vert }^2$
   $(t𝐚+𝐛,t𝐚+𝐛)\ge 0$であるので、$\Vert 𝐚{\Vert }^2{t}^2+2(𝐚,𝐛)t+\Vert 𝐛{\Vert }^2\ge 0$である。
   $t$を変数、$𝐚,𝐛$を定数とし、2次方程式を考える。この二次方程式は常に0以上で下に凸であるので、2次方程式の判別式は0以下である。
   なので、判別式$D=4(𝐚,𝐛{)}^2-4\Vert 𝐚{\Vert }^2\Vert 𝐛{\Vert }^2\le 0$整理すれば、$(𝐚,𝐛{)}^2\le \Vert 𝐚{\Vert }^2\Vert 𝐛{\Vert }^2$
   よって$|(𝐚,𝐛)|\le \Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert$
4. $\Vert 𝐚+𝐛{\Vert }^2=(𝐚+𝐛,𝐚+𝐛)=\Vert 𝐚{\Vert }^2+2(𝐚,𝐛)+\Vert 𝐛{\Vert }^2$である。
   $(𝐚,𝐛)\le |(𝐚,𝐛)|$であることと、3.より$(𝐚,𝐛)\le |(𝐚,𝐛)|\le \Vert 𝐚\Vert 𝐛\Vert$なので、
   $\Vert 𝐚+𝐛{\Vert }^2=\Vert 𝐚{\Vert }^2+2(𝐚,𝐛)+\Vert 𝐛{\Vert }^2\le |𝐚{\Vert }^2+2\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert +\Vert 𝐛{\Vert }^2=(\Vert 𝐚\Vert +\Vert 𝐛\Vert {)}^2$
   よって$\Vert 𝐚+𝐛\Vert \le \Vert 𝐚\Vert +\Vert 𝐛\Vert$